Wenn Sie eine Münze werfen, gibt es zwei mögliche Ergebnisse: Kopf und Zahl. Jedes Ergebnis hat eine feste Wahrscheinlichkeit, die von Test zu Test gleich ist. Im Falle von Münzen haben Kopf und Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/2. Allgemeiner gesagt gibt es Situationen, in denen die Münze verzerrt ist, so dass Kopf und Zahl unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben. In diesem Abschnitt betrachten wir die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, für die es nur zwei mögliche Ergebnisse mit festen Wahrscheinlichkeiten gibt, die zu einer addiert werden. Diese Verteilungen werden Binomialverteilungen genannt.

Ein einfaches Beispiel

Die vier möglichen Ergebnisse, die auftreten können, wenn Sie eine Münze zweimal umdrehen, sind in Tabelle 1 aufgeführt. Beachten Sie, dass die vier Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind: jedes hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/4. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass Münzwürfe unabhängig voneinander sind (keines beeinflusst das andere). Die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes bei Wurf 1 und eines Kopfes bei Wurf 2 ist also das Produkt von P(H) und P(H), das 1/2 x 1/2 = 1/4 beträgt. Diese Berechnung gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes bei Flip 1 und eines Schwanzes bei Flip 2. Jeder ist 1/2 x 1/2 = 1/4.

Tabelle 1. Vier mögliche Ergebnisse.

Ergebnisse.

Outcome First Flip Second Flip
1 Heads Heads
2 Heads Tails
3 Tails Heads
4 Tails Tails

Ergebnis Erster Flip Zweiter Flip
1 Köpfe Köpfe
2 Köpfe Schwänze
3 Schwänze Kopf
4 Schwänze Schwänze

Erste Drehung Erste Drehung Erste Drehung Erste Drehung Zweite Drehung Ergebnis

1 Köpfe Köpfe

2 Schwanzköpfe

3 Schwanzköpfe

4 Warteschlangen

Die vier möglichen Ergebnisse lassen sich nach der Anzahl der entstehenden Köpfe einordnen. Die Zahl kann zwei (Ergebnis 1), eins (Ergebnisse 2 und 3) oder 0 (Ergebnis 4) sein. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Möglichkeiten sind in Tabelle 2 und Abbildung 1 dargestellt. Da zwei der Ergebnisse den Fall darstellen, dass nur ein Kopf in den beiden Würfen auftaucht, beträgt die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses 1/4 + 1/4 = 1/2. Tabelle 2 fasst die Situation zusammen.

Tabelle 2. Wahrscheinlichkeit, 0, 1 oder 2 Köpfe zu bekommen.

0, 1 oder 2 Köpfe zu bekommen

Number of Heads Probability
0 1/4
1 1/2
2 1/4

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial1.jpg

Anzahl der Köpfe Wahrscheinlichkeit
0 1/4
1 1/2
2 1/4

Wahrscheinlichkeit der Anzahl der Köpfe

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Abbildung 1. Wahrscheinlichkeit von 0, 1 und 2 Köpfen.

Abbildung 1 zeigt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Sie zeigt die Wahrscheinlichkeit für jeden der Werte auf der X-Achse. Indem ein Kopf als “Erfolg” definiert wird, zeigt Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit von 0, 1 und 2 Erfolgen für zwei Tests (Flips) für ein Ereignis, das eine Wahrscheinlichkeit von 0,5 hat, bei jedem Test ein Erfolg zu sein. Dadurch wird Abbildung 1 zu einem Beispiel für eine Binomialverteilung.

Die Formel für binomiale Wahrscheinlichkeiten

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial_formula.gif

Die Binomialverteilung besteht aus der Wahrscheinlichkeit jeder der möglichen Erfolgszahlen bei N Tests für unabhängige Ereignisse, die jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit haben π (der griechische Buchstabe pi). Für das Beispiel des Münzwurfs ist N = 2 und π = 0,5. Die Formel für die Binomialverteilung ist unten dargestellt:

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial2.gif

wobei P(x) die Wahrscheinlichkeit von x Erfolgen von N Versuchen, N die Anzahl der Versuche und π die Erfolgswahrscheinlichkeit eines bestimmten Versuchs ist. Wendet dies auf das Beispiel des Münzwurfs an,

Wenn Sie eine Münze zweimal werfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen oder mehrere Köpfe zu bekommen? Da die Wahrscheinlichkeit, genau einen Kopf zu bekommen, 0,50 und die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Köpfe zu bekommen, 0,25 beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, einen oder mehrere Köpfe zu bekommen, 0,50 + 0,25 = 0,75.

Nehmen wir nun an, dass die Münze verzerrt ist. Die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen, beträgt nur 0,4. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal in zwei Spielzügen Köpfe zu erhalten? Wenn Sie die obige allgemeine Formel ersetzen, sollten Sie die Antwort .64 erhalten.

Kumulative Wahrscheinlichkeiten

Wir werfen 12 Mal eine Münze. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 0 bis 3 Köpfe zu bekommen? Die Antwort ergibt sich aus der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, genau 0 Köpfe, genau 1 Kopf, genau 2 Köpfe und genau 3 Köpfe zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, von 0 bis 3 Köpfe zu erhalten, ist dann die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeiten sind: 0,0002, 0,0029, 0,0161 und 0,0537. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 0,073. Die Berechnung der kumulativen binomialen Wahrscheinlichkeiten kann ziemlich langweilig sein. Aus diesem Grund haben wir einen Binomialrechner zur Verfügung gestellt, der die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten erleichtert.

Mittelwert und Standardabweichung von Binomialverteilungen

Betrachten wir ein Münzwurfexperiment, bei dem man eine Münze 12 Mal wirft und die Anzahl der Köpfe aufzeichnet. Wenn Sie dieses Experiment immer und immer wieder durchführen, wie hoch wäre die durchschnittliche Anzahl der Köpfe? Im Durchschnitt würden Sie erwarten, dass bei der Hälfte der Münzwürfe Köpfe herauskommen. Die durchschnittliche Anzahl der Köpfe wäre also 6. Im Allgemeinen ist der Durchschnitt einer Binomialverteilung mit den Parametern N (die Anzahl der Tests) und π (die Erfolgswahrscheinlichkeit der einzelnen Tests):

μ = Nπ

wobei μ der Durchschnitt der Binomialverteilung ist. Die Varianz der Binomialverteilung ist:

σ2 = Nπ(1-π)

wobei σ2 die Varianz der Binomialverteilung ist.

Gehen wir zurück zum Münzwurf-Experiment. Die Münze wurde 12 Mal geworfen, also N = 12. Eine Münze hat eine Chance von 0,5, zu einer Einigung zu kommen. Also, π = 0,5. Der Durchschnitt und die Varianz können dann wie folgt berechnet werden:

μ = Nπ = (12)(0.5) = 6

σ2 = Nπ(1-π) = (12)(0.5)(1.0 – 0.5) = 3.0.

Natürlich ist die Standardabweichung (σ) die Quadratwurzel der Varianz (σ2).