Es gibt mehrere eng verwandte Ergebnisse, die je nach Quelle unterschiedlich als Binomialtheorem bekannt sind. Noch verwirrender ist, dass eine Reihe dieser (und anderer) verwandten Ergebnisse unterschiedlich als Binomialformel, Binomialexpansion und Binomialidentität bekannt sind, und die Identität selbst wird manchmal einfach als “Binomialreihe” statt als “Binomialtheorem” bezeichnet.

Der allgemeinste Fall des Binomialsatzes ist die binomiale Reihenidentität

Description: (nu; k)

Wobei

ein Binomialkoeffizient und nu eine reelle Zahl ist. Diese Reihe konvergiert für nu>=0 eine ganze Zahl, oder |x/a|<1. Diese allgemeine Form ist das, was Graham et al. (1994, S. 162). Arfken (1985, S. 307) nennt den Spezialfall dieser Formel mit a=1 den Binomialsatz.

Wenn nu eine positive ganze Zahl n ist, endet die Reihe bei n=nu und kann in der Form geschrieben werden

Diese Form der Identität wird von Abramowitz und Stegun (1972, S. 10) als Binomialtheorem bezeichnet.

Die unterschiedlichen Terminologien sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

“Binomialer Satz” Quelle
Graham et al. (1994, S. 162)
Arfken (1985, S. 307)
Abramowitz und Stegun (1972, S. 10)

Das Binomialtheorem war für den Fall n=2 von Euklid um 300 v. Chr. bekannt und wurde in seiner modernen Form von Pascal in einem posthumen Pamphlet aus dem Jahr 1665 dargelegt. Pascals Pamphlet, zusammen mit seiner 1654 begonnenen (und 1679 veröffentlichten) Korrespondenz zu diesem Thema mit Fermat, bildet die Grundlage für die Benennung des arithmetischen Dreiecks zu seinen Ehren.

Newton (1676) zeigte, dass die Formel auch für negative ganze Zahlen -n gilt,

sogenannte negative Binomialreihen und konvergiert für |x|<a.

Tatsächlich ist die Verallgemeinerung

 gilt für alle komplexen z mit |z|<1.