Poisson-Verfahren

Die Poisson-Prozedur ist ein Modell für eine Abfolge von diskreten Anlässen, bei denen die normale Zeit zwischen den Anlässen bekannt ist, die sorgfältige Planung der Anlässe jedoch willkürlich ist. Das Erscheinen einer Gelegenheit ist unabhängig von der vorherigen Gelegenheit (das Aufhalten der Zeit zwischen den Anlässen ist erinnerungslos). Nehmen wir zum Beispiel an, wir behaupten, dass eine Website, von der wir durch unser “substance conveyance arrange” (CDN) wissen, dass sie alle betrachteten Dinge einmal alle 60 Tage untergeht, wobei eine Enttäuschung keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Folgenden hat. Alles, was wir wissen, ist die normale Zeit zwischen den Enttäuschungen. Dies ist ein ähnliches Poisson-Verfahren:

Der wichtige Punkt ist, dass wir die normale Zeit zwischen den einzelnen Anlässen kennen, dass sie jedoch willkürlich getrennt sind (stochastisch). Es kann sein, dass wir aufeinanderfolgende Enttäuschungen haben, aber wir könnten wegen der Zufälligkeit des Verfahrens auch eine lange Zeit zwischen den Enttäuschungen liegen.

Eine Poisson-Prozedur erfüllt die begleitenden Kriterien (in Wirklichkeit erfüllen zahlreiche Wunder, die als Poisson-Formen dargestellt werden, diese nicht genau):

Die Anlässe sind frei voneinander. Das Ereignis eines Anlasses beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit, dass ein anderer Anlass stattfindet.

Der Normalsatz (Anlässe pro Zeitspanne) ist konsistent.

Zwei Gelegenheiten können nicht gleichzeitig stattfinden.

Der letzte Punkt – die Gelegenheiten sind nicht synchron – impliziert, dass wir jedes Teilintervall eines Poisson-Verfahrens als eine Bernoulli-Vorentscheidung betrachten können, d.h. entweder als einen Triumph oder eine Enttäuschung. Bei unserer Site könnte die gesamte Zwischenzeit 600 Tage betragen, doch jedes Subinterim – irgendwann – geht unsere Site entweder unter oder sie geht nicht unter.

Normale Fälle von Poisson-Formen sind Kunden, die einen Hilfsfokus anrufen, Gäste an einem Standort, radioaktive Fäulnis in Molekülen, Photonen, die an einem Weltraumteleskop landen, und Entwicklungen bei den Lagerkosten. Poisson-Formen sind zum größten Teil mit der Zeit verbunden, müssen es aber nicht sein. Im Falle eines Bestandes können wir die normalen Entwicklungen jeden Tag kennen (Gelegenheiten pro Zeit), aber wir könnten auch ein Poisson-Verfahren für die Anzahl der Bäume in einem Landabschnitt haben (Gelegenheiten pro Territorium).

(Ein oft genanntes Beispiel für eine Poisson-Prozedur sind Transportauftritte (oder Züge oder jetzt Ubers). Dennoch handelt es sich hierbei nicht um eine echte Poisson-Prozedur, da die Erscheinungen nicht frei voneinander sind. Auf jeden Fall beeinflussen Transportrahmen, die nicht planmäßig ablaufen, unabhängig davon, ob ein Transport verspätet ist, die Erscheinungszeit des folgenden Transports. Jake VanderPlas hat einen unglaublichen Artikel über die Anwendung des Poisson-Verfahrens auf die Erscheinungszeiten der Transporte, der lieber mit erfundenen als mit wahren Informationen rührt).

Poisson-Übertragung

Die Poisson-Prozedur ist das Modell, das wir für die Darstellung von zufällig auftretenden Ereignissen verwenden, und ist ohne die Mitwirkung anderer nicht unangemessen wertvoll. Wir brauchen die Poissonzerstreuung, um faszinierende Dinge zu erreichen, z.B. die Wahrscheinlichkeit verschiedener Anlässe in einer Zeitspanne zu finden oder die Wahrscheinlichkeit zu finden, einige Zeit bis zum nächsten Anlass zu warten.

Die Poisson-Verbreitungswahrscheinlichkeits-Massenkapazität gibt die Wahrscheinlichkeit an, k Anlässe in einem Zeitrahmen zu beobachten, wenn man die Länge des Zeitraums und die normalen Anlässe pro Zeiteinheit berücksichtigt:

Dies ist etwas verworren, und Gelegenheiten/Zeit * Zeitspanne wird normalerweise in einen einzigen Parameter, λ, Lambda, den Ratenparameter, umgewandelt. Mit dieser Ersetzung hat die Wahrscheinlichkeitsarbeit der Poisson-Zirkulation gegenwärtig einen Parameter:

Lambda kann als die normale Anzahl von Gelegenheiten in der Zwischenzeit angesehen werden. (Wir werden dies als Zwischenzeit bezeichnen, weil wir, wie gesagt, keinen Zeitrahmen brauchen, sondern je nach unserem Poisson-Verfahren regions- oder volumenabhängig arbeiten können). Ich arbeite gerne Lambda aus, um mich daran zu erinnern, dass der Ratenparameter ein Element sowohl der normalen Anlässe pro Zeiteinheit als auch der Länge des Zeitrahmens ist, doch normalerweise werden Sie ihn am ehesten als direkt darüber liegend betrachten.

Wenn wir den Ratenparameter λ ändern, ändern wir die Wahrscheinlichkeit, dass in einer einzigen Zwischenzeit verschiedene Mengen von Gelegenheiten auftreten. Das untenstehende Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsmassenkapazität der Poisson-Aneignung, die die Wahrscheinlichkeit verschiedener Anlässe in einer Zwischenzeit mit verschiedenen Ratenparametern angibt.

Die höchstwahrscheinliche Anzahl von Gelegenheiten in der Zwischenzeit für jede Biegung ist der Geschwindigkeitsparameter. Dies ist ein gutes Zeichen dafür, dass der Kursparameter die normale Anzahl von Gelegenheiten in der Zwischenzeit ist, und wenn es sich um eine ganze Zahl handelt, ist der Kursparameter die Anzahl der Gelegenheiten mit der höchsten Wahrscheinlichkeit.

An dem Punkt, an dem sie alles andere als eine ganze Zahl ist, ist die höchste Wahrscheinlichkeit einer Anzahl von Gelegenheiten die dem Ratenparameter am nächsten liegende Zahl, da die Poissonzirkulation für eine diskrete Anzahl von Gelegenheiten charakterisiert ist. Die diskrete Idee der Poisson-Zirkulation ist zusätzlich der Grund dafür, dass es sich hierbei um eine Wahrscheinlichkeitsmassenkapazität und nicht um eine Dickenarbeit handelt. (Der Geschwindigkeitsparameter ist zusätzlich der Mittelwert und die Änderung des Umlaufs, die nicht ganzzahlig sein sollten).

Wir können die Massenkapazität der Poisson-Beförderung nutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass wir verschiedene Gelegenheiten während einer durch ein Poisson-Verfahren geschaffenen Zwischenzeit beobachten. Eine weitere Nutzung der Massenarbeitsbedingung – wie wir später sehen werden – besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu entdecken, einige Zeit zwischen den Gelegenheiten zuzusehen.

Ein ausgearbeitetes Modell

Für das Thema, das wir mit einer Poisson-Streuung beleuchten werden, könnten wir mit den Enttäuschungen vor Ort fortfahren, dennoch schlage ich etwas Ausgefeilteres vor. In meiner Jugend brachte mich mein Vater regelmäßig in unseren Hof, um Meteoritenschauer zu beobachten (oder zu versuchen, sie zu beobachten). Wir waren keine Weltraum-Nerds, dennoch reichte es aus, Artikel aus einem Weltraumwrack am Himmel zu sehen, um uns nach draußen zu bringen, obwohl Meteoritenschauer anscheinend immer in den kältesten Monaten stattfanden.

Die Anzahl der gesehenen Meteore kann als Poisson-Streuung dargestellt werden, da die Meteore autonom sind, die normale Anzahl der Meteore pro Stunde (vorläufig) konstant ist und – dies ist eine Schätzung – Meteore nicht ständig auftreten. Um die Poisson-Förderung darzustellen, brauchen wir nur den Ratenparameter, d.h. die Menge der Gelegenheiten/Zwischenzeiten * Zwischenzeitenlänge. Soweit ich mich erinnere, wurde uns geraten, für jede Stunde im Großen und Ganzen 5 Meteore zu erwarten oder 1 wie ein Uhrwerk. Aufgrund der eingeschränkten Toleranz eines kleinen Jünglings (insbesondere in einer sich verfestigenden Nacht) blieben wir nie länger als eine Stunde aus, also werden wir diese Zeitspanne als Zeitspanne verwenden. Wir setzen die beiden zusammen:

Was genau bedeutet “5 erwartete Meteore”? Alles in allem bedeutete das, wie mein zynischer Vater andeutete, dass wir höchstens 3 Meteoriten in 60 Minuten sehen würden. Zu diesem Zeitpunkt hatte ich keine informationswissenschaftlichen Fähigkeiten und vertraute mich seinem Urteil an. Jetzt, da ich etablierter bin und ein gesundes Maß an Misstrauen gegenüber Machtfiguren habe, ist dies eine ideale Gelegenheit, seine Ankündigung ernsthaft zu überprüfen. Wir können die Poisson-Übertragung nutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, in einer einzigen Stunde der Wahrnehmung genau 3 Meter zu sehen:

14% oder etwa 1/7. Für den unwahrscheinlichen Fall, dass wir mehrere Wochen lang konsequent nach draußen gingen, konnten wir zu diesem Zeitpunkt damit rechnen, dass mein Vater einmal entschieden Recht haben würde! Das ist zwar angenehm zu wissen, aber worum es uns geht, ist die Verbreitung, die Wahrscheinlichkeit, verschiedene Mengen von Meteoriten zu sehen. Dies von Hand zu machen ist langweilig, also werden wir Python – das Sie in diesem Jupyter Scratchpad finden – für die Berechnung und Wahrnehmung verwenden.

Das untenstehende Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsmassenkapazität für die Anzahl der Meteore in einer Stunde bei einer normalen Zeit zwischen den Meteoren von 12 Minuten (was der Angabe von 5 erwarteten Meteoren in 60 Minuten entspricht).

Das ist die Sache, die “5 vorweggenommene Gelegenheiten” bedeutet! Die wahrscheinliche Anzahl der Meteore ist 5, der Ratenparameter der Streuung. (Wegen einer Exzentrizität der Zahlen haben 4 und 5 eine ähnliche Wahrscheinlichkeit, 18%). Ebenso gibt es bei jeder Übertragung aller Wahrscheinlichkeit nach eine Wertschätzung, aber es gibt zusätzlich eine große Bandbreite an potentiellen Qualitäten. Wir könnten zum Beispiel 0 Meteore sehen, oder wir könnten mehr als 10 von jeweils 60 Minuten sehen. Um die Wahrscheinlichkeiten dieser Gelegenheiten zu ermitteln, verwenden wir eine ähnliche Bedingung, wobei wir dieses Mal jedoch die Gesamtheit der Wahrscheinlichkeiten ermitteln (siehe Notizblock für Feinheiten).

Zuvor hatten wir die Möglichkeit, die Meteore genau zu betrachten, auf etwa 14% festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, drei oder weniger Meteore in einer einzigen Stunde zu sehen, liegt bei 27%, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, mehr als drei zu sehen, 73% beträgt. In ähnlicher Weise liegt die Wahrscheinlichkeit, mehr als 5 Meter zu sehen, bei 38,4%, während wir hoffen könnten, 5 oder weniger Meteore in 61,6% der Wahrnehmungsstunden zu sehen. Trotz der Tatsache, dass es wenig ist, gibt es eine 1,4%ige Wahrscheinlichkeit, in 60 Minuten mehr als 10 Meter zu sehen!

Um uns diese möglichen Situationen vorzustellen, können wir eine Untersuchung durchführen, indem wir unsere Schwester die Anzahl der Meteoriten, die sie stündlich während 10.000 Stunden sieht, aufzeichnen lassen. Die Ergebnisse erscheinen im untenstehenden Histogramm: