Die Fourier-Transformation ist eine der tiefsten Einsichten, die je gemacht wurden. Leider ist die Bedeutung in dichten Gleichungen begraben:

Wow. Anstatt in die Bilder zu springen, sollten wir dem Schlüsselgedanken aus erster Hand begegnen. Hier ist eine einfache englische Ähnlichkeit:

Was bewirkt die Fourier-Veränderung? Mit einem Smoothie findet sie die Formel.

Wie? Lassen Sie den Smoothie durch Filter laufen, um jeden Bestandteil zu extrahieren.

Warum? Pläne sind einfacher zu analysieren, zu vergleichen und zu modifizieren als der Smoothie selbst.

Wie würden wir den Smoothie zurückgewinnen? Mischen Sie die Zutaten.

Hier ist die “Mathe-Englisch”-Version des oben genannten:

Der Fourier-Wechsel nimmt ein zeitbasiertes Muster, misst jeden denkbaren Zyklus und liefert die allgemein gesprochene “Zyklusformel” (die Fülle, das Gegengewicht und die Drehgeschwindigkeit für jeden gefundenen Zyklus).

Zeit für die Bedingungen? Nein! Wir sollten uns die Hände schmutzig machen und erfahren, wie jedes Beispiel mit Zyklen, mit Live-Reenactments gearbeitet werden kann.

Für den unwahrscheinlichen Fall, dass alles gut geht, werden wir eine Aha-Minute einlegen und natürlich anerkennen, warum der Fourierwechsel denkbar ist. Wir ersparen uns die punktuelle mathematische Prüfung für die Entwicklung.

Dies ist kein Powerwalk durch die Bedingungen, es ist der leichte Weg, den ich mir wünsche. Vorwärts!

Vom Smoothie zur Formel

Eine mathematische Veränderung ist ein Unterschied im Kontext. Wir ändern unsere Vorstellung von der Menge von “einzelnen Dingen” (Linien im Sand, Zählrahmen) zu “Ansammlungen von 10” (dezimal), abhängig davon, was wir überprüfen. Ein Spiel punkten? Zählen Sie nach. Duplizieren? Dezimalzahlen, freundlicherweise

Der Fourier-Wechsel verändert unsere Sichtweise vom Käufer zum Hersteller und macht aus Was habe ich? das Wie wurde es gemacht?

Am Ende des Tages: Mit einem Smoothie sollten wir die Formel entdecken.

Warum? Alles in allem sind die Pläne außergewöhnliche Darstellungen von Getränken. Sie würden nicht eine tröpfchenweise Untersuchung teilen, sondern sagen: “Ich hatte einen Orangen-Bananen-Smoothie”. Die Formel wird um so besser eingeordnet, überlegt und verändert als der Artikel selbst.

Also… mit einem Smoothie, wie würden wir die Formel entdecken?

Stellen Sie sich in der Tat vor, Sie hätten ein paar Kanäle herumliegen:

Gießen Sie durch den “Bananen”-Kanal. 1 Unze Bananen wird herausgenommen.

Gießen Sie durch den “orangen” Kanal. 2 Unzen Orangen.

Gießen Sie durch den Kanal “Milch”. 3 Unzen Milch.

Gießen Sie durch den Kanal “Wasser”. 3 Unzen Wasser.

Wir können die Formel herausfinden, indem wir jede Fixierung durchsieben. Der Haken?

Die Kanäle müssen frei sein. Der Bananenkanal muss Bananen fangen, und das war’s dann auch schon. Das Einbeziehen von mehr Orangen sollte niemals den Bananenkonsum beeinflussen.

Die Kanäle müssen fertig gestellt werden. Wir werden die echte Formel nicht bekommen, wenn wir einen Kanal vergessen (“Es gab auch Mangos!”). Unsere Sammlung von Kanälen muss jede denkbare Fixierung auffangen.

Befestigungen müssen fügungsfähig sein. Smoothies können isoliert und ohne Probleme wieder zusammengefügt werden (Ein Leckerbissen? Nicht wirklich. Wer braucht schon Stücke?). Die Fixierungen müssen, wenn sie isoliert und in einer Anfrage zusammengefügt werden, zu einem ähnlichen Ergebnis führen.

Sehen Sie die Welt als Kreisläufe

Der Fourierwechsel nimmt eine besondere Perspektive ein: Ziehen Sie die Möglichkeit in Betracht, dass jedes Zeichen in viele runde Wege aufgeteilt werden könnte.

Warten Sie. Diese Idee ist wunderbar, und der arme Joseph Fourier ließ seinen Gedanken von vornherein fallen. (Wirklich, Joe, selbst ein Treppenbeispiel kann mit Kreisen hergestellt werden?

Darüber hinaus erwarten wir trotz der langjährigen Diskussion im Mathe-Netzwerk, dass die Zweitbesetzungen den Gedanken ohne Frage verschleiern sollten. Pfui Teufel. Wie wäre es, wenn wir durch den Instinkt schlendern.

Der Fourier-Wechsel findet die Formel für ein Zeichen, ähnlich wie unser Smoothie-Verfahren:

Beginnen Sie mit einem zeitbasierten Signal

Wenden Sie Filter an, um jeden möglichen “kreisförmigen Bestandteil” zu messen

Sammeln Sie die vollständige Formel, indem Sie die Maße jeder “Kreisverkehrsfixierung” angeben

Stopp. Hier ist der Ort, an dem die meisten Lehrübungen energisch Bauanträge auf Ihr Gesicht werfen. Versuchen Sie, sich nicht zu erschrecken; stellen Sie sich die Modelle als “atemberaubend, wir beobachten endlich den Quellcode (DNA) hinter bereits verwirrenden Gedanken” vor.

Wenn die Möglichkeit besteht, Tremorschwingungen in “Befestigungen” (Schwingungen verschiedener Geschwindigkeiten und Amplituden) zu isolieren, kann man die Strukturen so gestalten, dass sie nicht mit den am stärksten geerdeten in Berührung kommen.

Auf die geringe Chance hin, dass Schallwellen in Befestigungen (Bass- und Höhenfrequenzen) isoliert werden können, können wir die Teile, die uns wichtig sind, unterstützen und die, die uns nicht wichtig sind, verstecken. Der Knall von unregelmäßigem Geschrei kann evakuiert werden. Möglicherweise kann man über vergleichende “Tonpläne” nachdenken (die Musikanerkennungsverwaltungen schauen auf Pläne, nicht auf die groben Tonklammern).

Für den unwahrscheinlichen Fall, dass mit PC-Informationen mit schwankenden Beispielen gesprochen werden kann, können vielleicht die am wenigsten bedeutsamen übersehen werden. Dieser “verlustbehaftete Druck” kann von Psychologen durchaus Größenordnungen erfassen (und warum JPEG- und MP3-Dokumente viel kleiner sind als rohe .bmp- oder .wav-Aufzeichnungen).

Für den unwahrscheinlichen Fall, dass eine Radiowelle unser Zeichen ist, können wir Kanäle nutzen, um uns auf einen bestimmten Kanal einzustimmen. Stellen Sie sich in der Smoothie-Welt vor, dass jeder Einzelne sich auf eine alternative Lösung konzentriert: Adam sucht nach Äpfeln, Weave sucht nach Bananen, und Charlie bekommt Blumenkohl (sorry bud).

Der Fourier-Wechsel ist ein wertvoller Beitrag zum Aufbau, aber es ist sicher eine Allegorie, bei der es darum geht, die zugrundeliegenden Triebkräfte hinter einer beobachteten Auswirkung zu finden.

Mit Kreisen denken, nicht nur mit Sinuskurven

Eine meiner größten Verwirrungen war die Isolierung der Bedeutungen von “Sinuskurve” und “Kreis”.

Eine “Sinuskurve” ist eine besondere Hin- und Her-Konstruktion (eine Sinus- oder Kosinuswelle), die in 99% der Fälle auf Bewegung in einer Messung anspielt.

Ein “Kreis” ist ein rundes 2D-Muster, das Sie wahrscheinlich kennen. Wenn Sie gerne 10-Dollar-Wörter verwenden, um 10-Cent-Ideen zu beschreiben, könnten Sie eine Kreisbahn als “komplexe Sinuskurve” bezeichnen.

Eine Rundung als “verwirrende Sinuskurve” zu benennen, ähnelt der Darstellung eines Wortes als “Mehrbuchstabe”. Sie haben in einen unangemessenen Detaillierungsgrad gezoomt. Bei Worten geht es um Ideen, nicht um die Buchstaben, in die sie sich einordnen lassen!

Beim Fourierwechsel geht es um runde Wege (nicht um 1-d-Sinusoiden), und die Euler-Gleichung ist eine listige Methode, um einen solchen zu erzeugen:

Müssen wir imaginäre Exponenten verwenden, um uns im Kreis zu bewegen? Nein. Aber es ist bequem und kompakt. Und sicher können wir unseren Weg als koordinierte Bewegung in zwei Dimensionen (real und imaginär) beschreiben, aber vergessen Sie nicht das große Bild: Wir bewegen uns nur im Kreis.