Dieses wirbelnde d-Symbol,∂ , genannt “del”, wird verwendet, um partielle Ableitungen von gewöhnlichen Ableitungen mit einer einzigen Variablen zu unterscheiden. Oder sollte ich sagen … um sie zu unterscheiden.

Der Grund für einen neuen Ableitungstyp liegt darin, dass wir, wenn die Eingabe einer Funktion aus mehreren Variablen besteht, sehen wollen, wie sich die Funktion ändert, wenn wir nur eine dieser Variablen ändern lassen, während wir alle anderen konstant halten.

Im Hinblick auf dreidimensionale Diagramme können Sie den Anfangsanteil der partiellen Ableitung abbilden, indem Sie das Diagramm von f mit einer Ebene, die einen konstanten y-Wert darstellt, in Scheiben schneiden und die Steigung der resultierenden Kurve entlang des Schnitts messen.

Was wir aufbauen

Für eine multivariable Funktion, wie f(x, y) = x 2 y, linke Klammer, x, Komma, y, rechte Klammer, gleich, x, Quadrat, y, sieht die Berechnung partieller Ableitungen etwa so aus:

Intersecting y=0 plane with the graph

Was ist eine fraktionierte Tochtergesellschaft?

Wir akzeptieren, dass Sie über die normale Tochtergesellschaft dx

df

 

Anfangsteil, d, f, isoliert durch, d, x, Enddivision von Analysen einzelner Variablen. Mir gefällt diese Dokumentation für den Untergebenen sehr gut, da man sie als Verfolgte entziffern kann:

Übersetzen Sie dx “eine kleine Änderung in x”.

Entziffern Sie df als “eine außergewöhnlich kleine Änderung in der Ausbeute von f”, wobei verstanden wird, dass diese bescheidene Änderung das ist, was sich aus der kleinen Änderung dx für die Info ergibt.

Eigentlich denke ich, dass dieses instinktive Gefühl für das Bild d dx

df

Anfangsteil, d, f, isoliert durch, d, x, Endteilung ist einer der wertvollsten Mitbringsel aus der Ein-Variablen-Analyse, und wenn man es wirklich in den Knochen spürt, beginnt die große Mehrheit der Ideen um Untergebene herum zu klicken.

Wenn Sie sie zum Beispiel auf das Diagramm von fff anwenden, können Sie diese “Proportion dx

Df

Anfangsteil, d, f, geteilt durch, d, x, Endteil als Aufstiegs-Überlaufsteigung der Karte von fff, die sich auf den Punkt stützt, an dem Sie begonnen haben.

Wie funktioniert das bei multivariablen Kapazitäten?

Stellen Sie sich einige als Kapazität mit einer zweidimensionalen Information und einem eindimensionalen Ertrag vor.

f(x, y) = x^2-2xy

Es hindert uns nichts daran, eine ähnliche Artikulation dx zu komponieren und auf die gleiche Weise zu interpretieren:

dx, kann immer noch eine winzige Änderung in der Variablen x darstellen, die jetzt nur noch eine Komponente unseres Inputs ist.

df, kann immer noch die resultierende Änderung der Ausgabe der Funktion f(x, y) darstellen.

Auf jeden Fall wird dabei übersehen, dass es noch eine weitere Infovariable y gibt. Der Inforaum hat gegenwärtig verschiedene Abmessungen, so dass wir den Beitrag zu zahlreichen anderen Lagern als dem xxx-Kurs ändern können. Sollte zum Beispiel nicht etwas darüber gesagt werden, dass sich y geringfügig durch irgendeinen kleinen Wert dy ändert? Gegenwärtig hätten wir für den Fall, dass wir df neu entziffern, um über die geringfügige Änderung der Kapazität zu sprechen, die diese dy-Bewegung realisiert, einen alternativen untergeordneten dx

df

Indication that the input of a multivariable function can change in many directions.

Keine dieser beiden Tochtergesellschaften erzählt die ganze Geschichte, wie sich unsere Kapazität f(x, y)f(x,y)f, linke Anlage, x, Komma, y, rechte Klammer ändert, wenn sich ihre Informationen etwas ändern, deshalb nennen wir sie halbwegs Untergebene. Um die Unterscheidung zu unterstreichen, verwenden wir den Buchstaben ddd nie wieder, um kleine Änderungen zu zeigen, sondern machen vielmehr ein modernes Bild \partial∂\teilweise mit der Arbeit vertraut, indem wir jeden unvollständigen Untergebenen als dx dx

df df

Sie lesen das Symbol dx

df

partielle Ableitung von f nach x.

Interpretieren von partiellen Ableitungen mit Graphen

Partielle Ableitungen mit Graphen interpretieren

Betrachten Sie diese Funktion:

Betrachten Sie den halbwegs untergeordneten von f, x, vielleicht am Punkt (2, 0)

Was lehrt uns die Schätzung dieser Artikulation in Bezug auf das Verhalten der Kapazität f am Punkt (2, 0)?

y als Konstante behandeln →right Pfeilschnittgraph mit Ebene

Der erste Schritt bei der Ermittlung dieses Wertes besteht darin, y als einen Stetigen zu behandeln. Insbesondere für den Fall, dass wir unseren Blick auf das beschränken, was an dem Punkt (2, 0) geschieht, sollten wir nur einen Blick auf die Anordnung der Brennpunkte werfen, bei denen y = 0 ist. Im dreidimensionalen Raum ist diese Menge eine Ebene gegenüber der y-Achse, die durch den Geburtsort verläuft.

Diese Ebene y = 0, weiß dargestellt, schneidet in das Diagramm von f(x,y), schwach rot markiert. Wir können übersetzen

∂x als Angabe der Steigung einer Tangente an diese Kurve. Warum? Weil ∂x ein leichter Stoß in x-Richtung ist,

∂f die nachträgliche Veränderung des z-Kurses, der Aufstieg.

Sollte nicht etwas über ∂y gesagt werden?

∂f , Division an diesem äquivalenten Punkt beenden (2, 0) ? Die Brennpunkte, bei denen x=2 ist, bilden zusätzlich eine Ebene, diesmal jedoch eine Ebene gegenüber der x-Achse, die auf den Punkt trifft, an dem sich x=2 nähert, 2. Dies schneidet das Diagramm entlang einer weiteren Biegung, ∂y /∂f wird die Steigung dieser neuen Kurve angeben.

 

Reflexionsfrage: Im Bild zu einer Seite scheint die “Krümmung”, wo das Zeichen die durch x=2 gekennzeichnete Ebene kreuzt, wie eine gerade Linie zu sein. Handelt es sich tatsächlich um eine Linie?- JA