Goldbachs ursprüngliche Vermutung (manchmal als “ternäre” Goldbach-Vermutung bezeichnet), die in einem Brief vom 7. Juni 1742 an Euler verfasst wurde, besagt, dass “zumindest scheint es, dass jede Zahl, die größer als 2 ist, die Summe von drei Primzahlen ist” (Goldbach 1742; Dickson 2005, S. 421). Beachten Sie, dass Goldbach die Zahl 1 für eine Primzahl hielt, eine Vorstellung, die nie wieder verfolgt wird. Wie von Euler erneut mitgeteilt wurde, bestätigt ein gleicher Typ dieser Vermutung (genannt die “solide” oder “zweifache” Goldbach-Vermutung), dass alle positiven geraden Zahlen >=4 als die Gesamtheit von zwei Primzahlen mitgeteilt werden können. Zwei Primzahlen (p,q) mit dem Endziel, dass p+q=2n für n eine positive ganze Zahl ist, werden hin und wieder als Goldbach-Segment (Oliveira e Silva) bezeichnet.

Wie von Hardy (1999, S. 19) angedeutet: “Es ist fast einfach, kluge Vermutungen anzustellen; zweifellos gibt es Hypothesen, ähnlich dem ‘Goldbach’schen Satz’, die nie bewiesen wurden und über die jeder Trick hätte spekulieren können. Faber und Faber boten einen Preis von 10.000.000 Dollar für jede Person an, die Goldbachs Vermutung zwischen dem 20. März 2000 und dem 20. März 2002 bewiesen hat, doch der Preis wurde nicht eingelöst und die Vermutung bleibt offen.

Schnirelman (1939) zeigte, dass jede signifikante Zahl als die Gesamtheit von nicht mehr als 300000 Primzahlen zusammengesetzt werden kann (Dunham 1990), was von einem Beweis für zwei Primzahlen ziemlich weit entfernt zu sein scheint! Pogorzelski (1977) behauptete, die Goldbach-Vermutung nachgewiesen zu haben, seine Verifizierung ist jedoch nicht allgemein anerkannt (Shanks 1985). Die beiliegende Tabelle kürzt die Grenzen n mit dem Endziel, dass die solide Goldbach-Vermutung nachweislich für Zahlen <n gültig ist.

gebundene Referenz

1×10^4 Desboves 1885

1×10^5 Pipping 1938

1×10^8 Stein und Stein 1965ab

2×10^(10) Granville et al. 1989

4×10^(11) Sinisalo 1993

1×10^(14) Deshouillers et al. 1998

4×10^(14) Richstein 1999, 2001

2×10^(16) Oliveira e Silva (24. März 2003)

6×10^(16) Oliveira e Silva (3. Oktober 2003)

2×10^(17) Oliveira e Silva (5. Februar 2005)

3×10^(17) Oliveira e Silva (30. Dezember 2005)

12×10^(17) Oliveira e Silva (14. Juli 2008)

4×10^^(18) Oliveira e Silva (Apr. 2012)

Die Vermutung, dass alle ungeraden Zahlen >=9 das Aggregat von drei ungeraden Primzahlen sind, ist als “schwache” Goldbach-Vermutung bekannt. Vinogradov (1937ab, 1954) zeigte, dass jede ausreichend große ungerade Zahl die Summe von drei Primzahlen ist (Nagell 1951, S. 66; Guy 1994), und Estermann (1938) zeigte, dass praktisch alle geraden Zahlen die Summe von zwei Primzahlen sind. Vinogradovs einzigartige “ausreichend große” N>=3^(3^(15)) ca. e^(e^(16.573)) ca. 3,25×10^(6846168) wurde daher von Chen und Wang (1989) auf e^(e^(11.503)) ca. 3,33×10^(43000) verringert. Chen (1973, 1978) zeigte ebenfalls, dass alle hinreichend großen geraden Zahlen die Gesamtheit einer Primzahl und das Ergebnis aller als zwei Primzahlen betrachteten Dinge sind (Guy 1994, Courant und Robbins 1996). Mehr als zwei Jahrhunderte, nachdem die erste Vermutung geäußert wurde, demonstrierte Helfgott (2013, 2014) die schwache Goldbach-Vermutung.

Eine geerdetere Variante der schwachen Vermutung, insbesondere, dass jede ungerade Zahl >=7 als die Summe einer Primzahl zusätzlich zu zweimal einer Primzahl mitgeteilt werden kann, ist als Levy’s guess bekannt.

Eine gleichberechtigte Erklärung für die Goldbach-Vermutung ist, dass es für jede positive ganze Zahl m Primzahlen p und q gibt, mit dem Endziel, dass

 R(n)∼2Pi_2product_(k=2; p_k|n)(p_k-1)/(p_k-2)int_2^n(dx)/((lnx)^2),

wobei Pi_2 die Konstante der Zwillingsprimzahlen ist (Halberstam und Richert 1974).