Die Mathematik des kontinuierlichen Wandels verstehen.

Kalkül ist die mathematische Untersuchung von Dingen, die sich verändern: Autos beschleunigen, Planeten bewegen sich um die Sonne, Volkswirtschaften schwanken. Um über diese sich verändernden Größen nachzudenken, wurde im siebzehnten Jahrhundert eine andere Anordnung von Apparaten – die Analytik – geschaffen, die den Lauf der Mathematik und der Wissenschaften immer wieder anpasst.

Funktionsanalytik Erfahrung, die jeder sehnsüchtige Forscher, Spezialist oder Mathematiker braucht.

Grenzen zur Unendlichkeit

Manchmal werden wir etwas nicht direkt ausarbeiten … aber wir werden sehen, wie es sein sollte, wenn wir uns treffen und uns näher kommen!

Beispiel:

(x2 – 1)(x – 1)

Rechnen wir es aus für x=1:

Nun mag 0/0 eine Schwierigkeit sein! Wir kennen den Wert von 0/0 nicht wirklich (er ist “unbestimmt”), deshalb möchten wir dies anders beantworten.

Anstatt also zu versuchen, ihn für x=1 herauszufinden, sollten wir versuchen, uns ihm immer näher zu nähern:

Beispiel wird fortgesetzt:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Nun sehen wir, dass, wenn x an den Rand von 1 kommt, dann (x2-1)(x-1) an den Rand von 2 kommt

Wir haben es jetzt mit einer anregenden Situation zu tun:

Wenn x=1, kennen wir die Lösung nicht (sie ist unbestimmt)

Aber wir werden sehen, dass es bald 2

Wir wollen die Lösung “2” anbieten, können es aber nicht, also sagen Mathematiker stattdessen genau, was passiert, indem sie das spezielle Wort “Grenze” verwenden

Die Grenze von (x2-1)(x-1) bei Annäherung von x an 1 ist 2

Und es ist in Symbolen geschrieben als:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Es ist also eine besondere Art und Weise zu behaupten, “zu ignorieren, was passiert, wenn wir dort ankommen, aber je näher wir uns treffen, desto näher und näher kommt die Lösung 2”.

Als Grafik sieht es so aus:

Wir können also in Wahrheit nicht sagen, was der Wert bei x=1 ist.

Aber wir werden sagen, dass, wenn wir uns 1 nähern, die Grenze bei 2 liegt.

Es ist, als ob man einen Hügel hinaufläuft und dann die Spur auf magische Weise “nicht da” ist…

… aber wenn wir nur eine Seite prüfen, wer weiß, was passiert?

Wir möchten sie also aus beiden Richtungen überprüfen, um sicher zu gehen, wo sie “sein sollte”!

Beispiel Fortsetzung

Versuchen wir es also von der anderen Seite:

x (x2 – 1)(x – 1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

… …

Geht auch auf zwei zu, also ist das OK.

Schnelle Zusammenfassung der Grenzwerte

Manchmal werden wir etwas nicht direkt ausarbeiten … aber wir werden sehen, wie es sein sollte, wenn wir uns treffen und uns näher kommen!

Beispiel:

(x2 – 1)(x – 1)

Rechnen wir es aus für x=1:

Nun könnte 0/0 eine Schwierigkeit sein! Wir kennen den Wert von 0/0 nicht wirklich (er ist “unbestimmt”), deshalb möchten wir dies anders beantworten.

Anstatt also zu versuchen, ihn für x=1 herauszufinden, sollten wir versuchen, uns ihm immer näher zu nähern:

Beispiel wird fortgesetzt:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Nun sehen wir, dass, wenn x an den Rand von 1 kommt, dann (x2-1)(x-1) an den Rand von 2 kommt

Wir haben es jetzt mit einer anregenden Situation zu tun:

Wenn x=1, kennen wir die Lösung nicht (sie ist unbestimmt)

Aber wir werden sehen, dass es bald 2

Wir wollen die Lösung “2” anbieten, können es aber nicht, also sagen Mathematiker stattdessen genau, was passiert, indem sie das spezielle Wort “Grenze” verwenden

Die Grenze von (x2-1)(x-1) bei Annäherung von x an 1 ist 2

Und es ist in Symbolen geschrieben als:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Es ist also eine besondere Art und Weise zu behaupten, “zu ignorieren, was passiert, wenn wir dort ankommen, aber je näher wir uns treffen, desto näher kommt die Lösung immer näher und näher an 2”

Als Grafik sieht es so aus:

Wir können also in Wahrheit nicht sagen, was der Wert bei x=1 ist.

Aber wir werden sagen, dass, wenn wir uns 1 nähern, die Grenze bei 2 liegt.