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In der Geometrie ist die Kollinearität einer Menge von Punkten die Eigenschaft, dass sie auf einer einzigen Linie liegen.[1] Eine Menge von Punkten mit dieser Eigenschaft wird als kollinear bezeichnet (manchmal als kollinear[2]). In größerer Allgemeinheit wurde der Begriff für ausgerichtete Objekte verwendet, d.h. Dinge, die “in einer Linie” oder “in einer Reihe” liegen.

Punkte auf einer Linie

In jeder Geometrie wird die Menge der Punkte auf einer Linie als kollinear bezeichnet. In der euklidischen Geometrie wird dieser Zusammenhang natürlich durch nacheinander auf einer “geraden Linie” liegende Schwerpunkte dargestellt. Wie dem auch sei, in vielen Geometrien (euklidische mitgezählt) ist eine Linie in der Regel ein grober (undeutlicher) Objekttyp, so dass solche Darstellungen nicht wirklich geeignet sind. Ein Modell für die Geometrie bietet eine Interpretation, wie sich die Punkte, Linien und andere Elementtypen miteinander identifizieren, und eine Idee, z.B. die Kollinearität, muss innerhalb der Einstellung dieses Modells entschlüsselt werden. In der Kreisgeometrie zum Beispiel, wo im Standardmodell die Linien durch unglaubliche Kreise eines Kreises angesprochen werden, liegen Sätze von kollinearen Schwerpunkten auf einem ähnlichen außergewöhnlichen Kreis. Solche Schwerpunkte liegen nicht auf einer “geraden Linie” im euklidischen Sinne und werden nicht als aufeinanderfolgend gedacht.

Eine Abbildung einer Geometrie auf sich selbst, die Linien an Linien sendet, wird als Kollineation bezeichnet; sie geliert die Kollinearitätseigenschaft. Die geraden Karten (oder direkten Elemente) von Vektorräumen, die als geometrische Karten gesehen werden, bilden Linien zu Linien ab; d.h. sie bilden kollineare Führungssätze zu kollinearen Punktmengen ab, da es sich um Kollineationen handelt. In der projektiven Geometrie werden diese direkten Abbildungen als Homographien bezeichnet und sind nur eine Art der Kollineation.

Beispiele in euklidischer Geometrie

Dreiecke

In jedem Dreieck sind die folgenden Punktmengen kollinear:

Das Orthozentrum, das Zirkumzentrum, der Zentroid, der Exeter-Punkt, der de Longchamps-Punkt und der Mittelpunkt des Neun-Punkte-Kreises sind kollinear und fallen alle auf eine Linie, die als Euler-Linie bezeichnet wird.

Der de Longchamps-Punkt hat auch andere Kollinearitäten.

Jeder Scheitelpunkt, die Tangente der gegenüberliegenden Seite an einen Exzirkus und der Nagel-Punkt sind kollinear in einer Linie, die als Teiler des Dreiecks bezeichnet wird.

Der Mittelpunkt jeder Seite, der Punkt, der in beiden Richtungen gleich weit von ihr entfernt ist (diese beiden Punkte halbieren also den Umfang), und der Mittelpunkt des Spieker-Kreises sind kollinear in einer Linie, die als Dreieckspalter bezeichnet wird. (Der Spieker-Kreis ist der Inkreis des medialen Dreiecks, und sein Zentrum ist der Massenmittelpunkt des Dreiecksumfangs).

Jeder Scheitelpunkt, die Tangente der gegenüberliegenden Seite an den Inkreis und der Gergonne-Punkt sind kollinear.

Von jedem Punkt auf dem Umkreis eines Dreiecks aus sind die nächstgelegenen Punkte auf jeder der drei verlängerten Seiten des Dreiecks kollinear in der Simson-Linie des Punktes auf dem Umkreis.

Die Verbindungslinien zwischen den Füßen der Höhenlagen schneiden die gegenüberliegenden Seiten in kollinearen Punkten.[3]:S.199

Der Mittelpunkt eines Dreiecks, der Mittelpunkt einer Höhe und der Berührungspunkt der entsprechenden Seite mit dem Exzirkel relativ zu dieser Seite sind kollinear.[4]:S.120,#78

Das Menelaus’sche Theorem besagt, dass drei Punkte {\Darstellungsstil P_{1},P_{2},P_{3}}}P_{1},P_{2},P_{3} auf den Seiten (teilweise verlängert) eines Dreiecks gegenüber den Eckpunkten {\Darstellungsstil A_{1},A_{2},A_{3}}}A_{1},A_{2},A_{2},A_{3} jeweils kollinear sind, wenn und nur wenn die folgenden Produkte der Segmentlängen gleich sind:[3]:p. 147

{\Anzeigeart P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.}P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}\cdot P

Das Zentrum, der Schwerpunkt und das Zentrum des Spieker-Kreises sind kollinear.

Das Zirkumzentrum, der Brocard-Mittelpunkt und der Lemoine-Punkt eines Dreiecks sind kollinear.[5]

Zwei senkrechte Linien, die sich im Orthozentrum eines Dreiecks schneiden, schneiden jeweils die verlängerten Seiten des Dreiecks. Die Mittelpunkte auf den drei Seiten dieser Schnittpunkte liegen kollinear in der Droz-Farny-Linie.

Vierländer

In einem konvexen Viereck ABCD, dessen gegenüberliegende Seiten sich in E und F schneiden, sind die Mittelpunkte von AC, BD und EF kollinear und die Linie durch sie wird als Newton-Linie bezeichnet (manchmal auch als Newton-Gauß-Linie [Zitat erforderlich]). Wenn das Viereck ein tangentiales Viereck ist, dann liegt sein Mittelpunkt ebenfalls auf dieser Linie.[6]

In einem konvexen Viereck sind das Quasiorthozentrum H, der “Flächenschwerpunkt” G und das Quasizirkumzentrum O in dieser Reihenfolge kollinear und HG = 2GO[7] (siehe Viereck#Markierbare Punkte und Linien in einem konvexen Viereck).

Andere Kollinearitäten eines tangentialen Vierecks sind in Tangentialquadrat#Kollineare Punkte angegeben.

In einem zyklischen Viereck sind das Zirkumzentrum, der Scheitelpunkt-Zentroid (der Schnittpunkt der beiden Bimediane) und das Anticenter kollinear.[8]

In einem zyklischen Viereck sind der Flächenschwerpunkt, der Scheitelschwerpunkt und der Schnittpunkt der Diagonalen kollinear.[9]

Bei einem tangentialen Trapez sind die Tangenten des Inkreises mit den beiden Basen kollinear mit der Mitte.

Bei einem tangentialen Trapez sind die Mittelpunkte der Beine kollinear mit der Mitte des Incenters.

Sechsecke

Das Pascal’sche Theorem (auch bekannt als Hexagrammum Mysticum Theorem) besagt, dass, wenn auf einem konischen Abschnitt (d.h. Ellipse, Parabel oder Hyperbel) sechs beliebige Punkte gewählt und durch Liniensegmente in beliebiger Reihenfolge zu einem Sechseck verbunden werden, sich die drei Paare gegenüberliegender Seiten des Sechsecks (gegebenenfalls verlängert) in drei Punkten treffen, die auf einer geraden Linie liegen, die Pascal-Linie des Sechsecks genannt wird. Umgekehrt gilt auch das Gegenteil: Der Braikenridge-Maclaurin-Satz besagt, dass, wenn die drei Schnittpunkte der drei Linienpaare durch die gegenüberliegenden Seiten eines Sechsecks auf einer Linie liegen, die sechs Eckpunkte des Sechsecks auf einem Kegel liegen, der, wie im Pappus’schen Sechsecksatz, degeneriert sein kann.

Konische Abschnitte

Nach dem Satz von Monge sind für drei beliebige Kreise in einer Ebene, von denen keiner vollständig in einem der anderen liegt, die drei Schnittpunkte der drei Linienpaare, die jeweils zwei der Kreise von außen tangieren, kollinear.

Bei einer Ellipse sind der Mittelpunkt, die beiden Brennpunkte und die beiden Scheitelpunkte mit dem kleinsten Krümmungsradius kollinear, und der Mittelpunkt und die beiden Scheitelpunkte mit dem größten Krümmungsradius sind kollinear.

In einer Hyperbel sind das Zentrum, die beiden Brennpunkte und die beiden Scheitelpunkte kollinear.

Kegel

Der Massenschwerpunkt eines konischen Festkörpers mit gleichmäßiger Dichte liegt auf einem Viertel des Weges von der Mitte der Basis zum Scheitelpunkt auf der Verbindungsgeraden zwischen den beiden.

Tetraeder

Der Schwerpunkt eines Tetraeders ist der Mittelpunkt zwischen seinem Monge-Punkt und dem Zirkumzentrum. Diese Punkte definieren die Euler-Linie des Tetraeders, die der Euler-Linie eines Dreiecks analog ist. Das Zentrum der Zwölfpunktkugel des Tetraeders liegt ebenfalls auf der Euler-Linie.