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Eine Permutation, auch “Ordnungsnummer” oder “Ordnung” genannt, kann eine Umordnung des Wetters einer geordneten Liste S in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit S selbst sein. Die Anzahl der Permutationen auf einer Gruppe von n Elementen ist durch n gegeben! (n faktoriell; Uspensky 1937, S. 18). z.B. gibt es 2!=2-1=2 Permutationen von {1,2}, nämlich {1,2} und {2,1}, und 3!=3-2-1=6 Permutationen von {1,2,3}, nämlich {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2} und {3,2,1}. Die Permutationen eines Inventars werden oft innerhalb der Wolfram-Sprache mit dem Befehl Permutations[list] gefunden. Ein Inventar der Länge n wird oft getestet, um festzustellen, ob es sich um eine Permutation von 1, …, n innerhalb der Wolfram-Sprache mit dem Befehl PermutationListQ[list] handelt.

Sedgewick (1977) fasst eine Vielzahl von Algorithmen zur Erzeugung von Permutationen zusammen und identifiziert den Permutationsalgorithmus von Heap (1963) mit der geringsten Änderung als den im Allgemeinen schnellsten (Skiena 1990, S. 10). Eine weitere Methode zur Aufzählung von Permutationen wurde von Johnson (1963; Séroul 2000, S. 213-218) angegeben.

Die Nummer der Methode zur Gewinnung einer geordneten Teilmenge von k Elementen aus einer Gruppe von n Elementen ist gegeben durch

_nP_k=(n!)/((n-k)!)

(1)

(Uspensky 1937, S. 18), wobei n! eine Fakultät sein kann. z.B. gibt es 4!/2!=12 2-Untermengen von {1,2,3,4}, nämlich {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,1}, {2,3}, {2,4}, {3,1}, {3,2}, {3,4}, {4,1}, {4,2} und {4,3}. Die ungeordneten Untermengen, die k Elemente enthalten, werden als die k-Untermengen einer gegebenen Menge bezeichnet.

Eine Darstellung einer Permutation als Produkt von Permutationszyklen ist exklusiv (bis zur Ordnung der Zyklen). Ein Beispiel für eine zyklische Zersetzung ist, dass die Permutation {4,2,1,3} von {1,2,3,4}. dies wird oft als (2)(143) bezeichnet, wie die disjunkten Permutationszyklen (2) und (143). es gibt ein ausgezeichnetes Maß an Freiheit bei der Auswahl der Darstellung einer zyklischen Zersetzung, da (1) die Zyklen disjunkt sind und daher in beliebiger Reihenfolge angeordnet werden können und (2) jede Rotation eines gegebenen Zyklus einen äquivalenten Zyklus spezifiziert (Skiena 1990, S. 20). Daher beschreiben (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314) und (2)(143) alle eine äquivalente Permutation.

Eine andere Notation, die explizit die Positionen identifiziert, die von Elementen vor und nach der Anwendung einer Permutation auf n Elemente besetzt sind, verwendet eine 2×n-Matrix, in der die primäre Zeile (123…n) ist und daher die zweite Zeile die neue Anordnung darstellt. z.B. würde die Permutation, die die Elemente 1 und ein paar davon schaltet und 3 fixiert, als

[1 2 3; 2 1 3].

(2)

Jede Permutation ist zusätzlich ein Produkt von Transpositionen. Permutationen werden üblicherweise in lexikographischer oder Transpositionsreihenfolge bezeichnet. Es gibt eine Übereinstimmung zwischen einer Permutation und einem Paar von Young-Tableaus, die als Schensted-Korrespondenz bezeichnet werden.

Die Anzahl der falschen Permutationen von n Objekten ist [n!/e], wobei [x] die nächstliegende ganzzahlige Funktion ist. Eine Permutation von n geordneten Objekten, bei der sich kein Objekt an seinem natürlichen Platz befindet, wird als Umgehung (oder manchmal als ganze Permutation) bezeichnet, und daher ist die Anzahl solcher Permutationen durch die Subfaktorielle !n gegeben.

Verwendung von

(x+y)^n=summe_(r=0)^n(n; r)x^(n-r)y^r

(3)

mit x=y=1 ergibt

2^n=Summe_(r=0)^n(n; r),

(4)

so dass die Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl von 0, 1, …, oder n gleichzeitig 2^n beträgt.

Die Menge aller Permutationen einer Gruppe von Elementen 1, …, n erhält man oft mit der nachfolgenden rekursiven Prozedur

1 2; / ; 2 1

(5)

1 2 3; / ; 1 3 2 ; / ; 3 1 2 ; | ; 3 2 1 ; \ ; 2 3 1 ; \ ; 2 1 3

(6)

Betrachten Sie Permutationen, bei denen kein Paar aufeinanderfolgender Elemente (d.h. steigende oder fallende Sukzessionen) auftreten. Für n=1, 2, … Elemente beträgt die Anzahl solcher Permutationen 1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, … (OEIS A002464).

Lassen Sie die Menge der ganzen Zahlen 1, 2, …, N permutieren und damit die resultierende Folge in aufsteigende Läufe zerlegen. Bezeichnen Sie die typische Länge des n-ten Laufs, da N sich der Unendlichkeit nähert, L_n. Die wenigen Primärwerte sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst, wobei e die Basis des Napier’schen Logarithmus ist (Le Lionnais 1983, S. 41-42; Knuth 1998).

n L_n OEIS annähernd

1 e-1 A091131 1.718281818…

2 e^2-2e A091132 1.9524…

3 e^3-3e^2+3/2e A091133 1,9957…