Primzahl

Was sind Primzahlen?

Eine Primzahl hat außer eins und sich selbst keinen weiteren Faktor. Diese ganzen Zahlen sind größer als eins. Ein Faktor ist eine ganze Zahl, die mit anderen Zahlen gleichmäßig teilbar ist. Die Liste der Primzahlen umfasst 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 und so weiter. Ausgehend von 1 gibt es nur 25 Primzahlen bis 100. Wenn eine ganze Zahl mehr Faktoren als zwei hat, kann man sie als zusammengesetzte Zahlen bezeichnen. Wir werden die Eins nicht als zusammengesetzte Zahl oder Primzahl betrachten. Mit anderen Worten, Sie können eine Primzahl nur durch eins und sich selbst ohne den Rest dividieren. Zum Beispiel können Sie 17 nur durch eins und durch 17 teilen.

Einige wichtige Fakten über Primzahlen

• 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar.
• Man kann eine Zahl durch 3 dividieren, wenn die Summe einer Zahl ein Vielfaches von 3 ist
• Es gibt keine Primzahl, die größer als 5 ist und deren letzte Ziffer nicht 5 ist – Sie können jede Zahl durch 5 teilen, die auf 5 endet
• Man kann nicht Null und Eins als Primzahl betrachten
• Jede Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl oder eine Primzahl, außer Null und Eins: Das bedeutet, dass jede Zahl, die keine zusammengesetzte Zahl ist, eine Primzahl ist und andersherum
  Wenn Sie beweisen wollen, dass eine Zahl eine Primzahl ist, müssen Sie sie durch 2 dividieren. Wenn das Ergebnis also eine ganze Zahl ist, ist sie keine Primzahl. Ist die Zahl hingegen keine ganze Zahl, dann können Sie sie durch andere Primzahlen wie 3, 5, 7, 11 usw. teilen.

Feststellen, ob die Zahl eine Primzahl ist

Sie können einen Computer verwenden, um herauszufinden, ob eine große Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Da es keine Begrenzung gibt, wie groß eine Zahl sein kann, ist der Beweis, dass eine große Zahl eine Primzahl ist, eine mühsame Aufgabe. Selbst wenn Sie einen Supercomputer verwenden, sind die Grenzen unendlich. Zum Beispiel hat die größte Zahl, von der wir bisher wissen, dass sie eine Primzahl ist, 24.862.048 Ziffern.
Experten versuchen, verschiedene Algorithmen zu formulieren, um einen Weg zu finden und auch die größten Primzahlen zu finden. Betrachten wir zum Beispiel “n” als ganze Zahl, aber wir wissen nicht, ob es eine zusammengesetzte Zahl oder eine Primzahl ist. Um herauszufinden, ob es eine Primzahl ist, nehmen wir ½ als Potenz von “n”, oder wir ziehen die Quadratwurzel daraus. Nun kann man diese Zahl auf die nächstgrößere Zahl runden und diese mit “m” bezeichnen. Wir können diesen Quotienten finden:
qm = n / m
q(m-1) = n / (m-1)
q(m-2) = n / (m-2)
q(m-3) = n / (m-3). . .
q3 = n / 3
q2 = n / 2
Daraus folgt, dass “n” eine Primzahl ist, wenn q die obige Ableitung ist.

Mersenne- und Fermat-Primzahlen

Eine Mersenne-Primzahl ist eine Zahl, die man auf 2 n – 1 reduzieren kann. In dieser Form ist das “n” eine Primzahl. Hier sind einige der ersten bekannten “n”-Werte, die Mersenne-Primzahlen ergeben können:
n = 2, n = 3, n = 5, n = 7, n = 13, n = 17, n = 19, n = 31, n = 61, und n = 89
Eine Fermat-Primzahl ist dagegen eine Primzahl und eine Fermat-Zahl. Die Form der Fermat-Zahl Fn ist 2m + 1. In dieser Form ist m eine Potenz von 2. Das bedeutet, dass m = 2n ist. Außerdem ist das n in dieser Form eine ganze Zahl.

Primzahlen und Kryptographie

Die Verschlüsselung wird immer die Grundregel beinhalten. Sie wird enthalten:

• Den Algorithmus
• Das eigentliche Verfahren
  Diese beiden Komponenten haben keine Geheimnisse, aber der Schlüssel schon. Mit Hilfe von Primzahlen können Sie verschiedene Schlüssel erzeugen. Der Grund, warum die Verschlüsselung mit öffentlichen/privaten Schlüsseln so wichtig ist, ist zum Beispiel, dass Sie Produkte leicht berechnen können, indem Sie zwei zufällige Primzahlen wählen. Allerdings wird es schwierig und zeitaufwändig sein, die zwei verschiedenen Primzahlen zu finden und ein größeres Produkt zu erstellen. Der Grund, warum es schwierig sein kann, ist, dass Sie nur das Produkt kennen.
  Sie können ein populäres Beispiel der Public-Key-Kryptographie in Rivest-Shamir-Adleman oder RSA nehmen. Diese besagt, dass Sie Primzahlen immer als eindeutig finden werden. Zahlreiche Anwendungen nutzen die Primzahlen durch den Digital Signature Standard (DSS) und das Diffie-Hellmen-Verfahren.

Ist 258000 eine Primzahl

Nein, 258000 ist keine Primzahl, aber sie ist ein Kompositum. Sie können 258000 als das Produkt der Primfaktoren schreiben. Hier sind die Primfaktoren:
258000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 x 5 x 43
Wenn Sie dies in die Exponentialschreibweise umwandeln, schreiben Sie es als:
258000 = 24 × 3 × 53 × 43

Fazit

Es gibt noch zahlreiche historische Fragen über Primzahlen zu lösen. Zum Beispiel bedeutet die Goldbachsche Vermutung, dass man jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen ausdrücken kann. Außerdem besagt sie, dass man unendlich viele Paare von Primzahlen bilden kann, indem man eine gerade Zahl dazwischen setzt. Diese Art von Fragen spornen Mathematiker an, weitere Fortschritte auf dem Gebiet der Zahlentheorie zu machen. Sie können Primzahlen für verschiedene informationstechnische Aufgaben verwenden.