Die Standard-Gauß-Verteilung kann eine Gauß-Verteilung mit einem Mittelwert von Null und einer Varianz von 1 sein. Die Qualitäts-Gauß-Verteilung ist auf Null zentriert und daher ist der Grad, in dem eine bestimmte Messung vom Mittelwert abweicht, durch die Qualitätsabweichung gegeben. Bei der Gaußschen Qualitätsverteilung liegen 68% der Beobachtungen innerhalb einer Varianz des Mittelwertes von 1; 95% liegen innerhalb einer Varianz des Mittelwertes von 2; und 99,9% liegen innerhalb von 3 Standardabweichungen des Mittelwertes. Bis zum gegenwärtigen Zeitpunkt haben wir “X” zur Bezeichnung der interessierenden Variablen verwendet (z.B. X=BMI, X=Höhe, X=Gewicht). Wenn wir jedoch eine Gauß’sche Standardverteilung verwenden, verwenden wir “Z”, um eine Variable im Kontext einer typischen Gauß’schen Verteilung zu fragen. Nach der Standardisierung ist der auf der vorhergehenden Seite besprochene BMI=30 unten dargestellt und liegt 0,16667 Einheiten über dem Mittelwert von 0 bei der Gaußschen Qualitätsverteilung auf der Proper.

Da die Welt unter der Qualitätskurve = 1 ist, werden wir beginnen, die Möglichkeiten der spezifischen Beobachtung genauer zu definieren. Für jeden gegebenen Z-Wert werden wir die Welt unter der Kurve links von diesem Z-Wert berechnen. Die Tabelle im Rahmen unten zeigt die Möglichkeiten für die Qualitäts-Gaußsche Verteilung. Untersuchen Sie die Tabelle und beachten Sie, dass ein “Z”-Wert von 0,0 eine Wahrscheinlichkeit von 0,50 oder 50% auflistet, und ein “Z”-Wert von 1, d.h. eine Varianz über dem Mittelwert, eine Wahrscheinlichkeit von 0,8413 oder 84% auflistet. Das liegt daran, dass eine Varianz über und unter dem Mittelwert etwa 68% der Welt umfasst, so dass eine Varianz über dem Mittelwert die Hälfte von 34% ausmacht. Die fünfhundert unter dem Mittelwert plus die 34% über dem Mittelwert ergeben also 84%.

STANDARD NORMALE VERTEILUNG: Die Tabellenwerte repräsentieren den BEREICH links vom Z-Wert.

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 -3.9 .00005 .00005 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00003 .00003 -3.8 .00007 .00007 .00007 .00006 .00006 .00006 .00006 .00005 .00005 .00005 -3. 7 .00011 .00010 .00010 .00010 .00009 .00009 .00008 .00008 .00008 .00008 -3.6 .00016 .00015 .00015 .00014 .00014 .00013 .00013 .00012 .00012 .00011 -3.5 .00023 .00022 .00022 .00021 .00020 .00019 . 00019 .00018 .00017 .00017 -3.4 .00034 .00032 .00031 .00030 .00029 .00028 .00027 .00026 .00025 .00024 -3.3 .00048 .00047 .00045 .00043 .00042 .00040 .00039 .00038 .00036 .00035 -3.2 .00069 .00066 . 00064 .00062 .00060 .00058 .00056 .00054 .00052 .00050 -3.1 .00097 .00094 .00090 .00087 .00084 .00082 .00079 .00076 .00074 .00071 -3.0 .00135 .00131 .00126 .00122 .00118 .00114 .00111 .00107 . 00104 .00100 -2.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .00139 -2.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .00193 -2.7 .00347 .00336 .00326 .00317 . 00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .00264 -2.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .00357 -2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .00480 -2. 4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639 -2.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .00842 -2.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 . 01191 .01160 .01130 .01101 -2.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .01426 -2.0 .02275 .02222 .02169 .02118 .02068 .02018 .01970 .01923 .01876 .01831 -1.9 .02872 .02807 . 02743 .02680 .02619 .02559 .02500 .02442 .02385 .02330 -1.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .02938 -1.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 . 03754 .03673 -1.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .04551 -1.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .05592 -1.4 .08076 .07927 .07780 .07636 . 07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .06811 -1.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08691 .08534 .08379 .08226 -1.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .09853 -1.1 . 13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .11702 -1.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .13786 -0.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 . 16602 .16354 .16109 -0.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .18673 -0.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .21476 -0.6 .27425 .27093 .26763 . 26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .24510 -0.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .27760 -0.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 . 31207 -0.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .34827 -0.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .38591 -0.1 .46017 .45620 .45224 .44828 .44433 . 44038 .43644 .43251 .42858 .42465 -0.0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .46414 STANDARD NORMALE VERTEILUNG: Die Tabellenwerte stellen den Bereich links vom Z-Wert dar. Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 . 57535 0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 . 67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793 0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 0. 7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524 0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327 0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 . 82894 .83147 .83398 .83646 .83891 1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298 1.2 . 88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147 1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .91774 1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 . 92785 .92922 .93056 .93189 1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408 1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449 1.7 .95543 . 95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 . 97558 .97615 .97670 2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.2 .98610 .98645 . 98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 . 99324 .99343 .99361 2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.7 .99653 .99664 . 99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 . 99856 .99861 3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900 3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929 3.2 .99931 .99934 .99936 . 99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950 3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965 3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 . 99976 3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983 3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989 3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 . 99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992 3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995 3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997

Wahrscheinlichkeiten der Qualität Gaußsche Verteilung Z

Diese Tabelle ist so organisiert, dass sie die Welt unter der Kurve links von oder weniger von einem bestimmten Wert oder “Z-Wert” liefert. In diesem Fall ist der Z-Wert, da der Mittelwert Null und damit die Varianz 1 ist, die Anzahl der gewöhnlichen Abweichungseinheiten, die weit vom Mittelwert entfernt sind, und damit die Fläche, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Wert, aber diesen bestimmten Z-Wert zu beobachten. Beachten Sie auch, dass die Tabelle die Wahrscheinlichkeiten auf 2 Dezimalstellen von Z anzeigt. Die Stelle der Einheiten und somit die erste Dezimalstelle wird in der linken Spalte angezeigt, und daher wird die zweite Dezimalstelle in der höchsten Zeile angezeigt.

Aber lassen Sie uns noch einmal auf die Frage nach der Wahrscheinlichkeit zurückkommen, dass der BMI einen kleineren Betrag als 30 hat, d.h. P(X)

Verteilung von BMI und Standard-Normalverteilung

Die Fläche unter jeder Kurve ist eine, aber die Skalierung der X-Achse ist unterschiedlich. Beachten Sie jedoch, dass die Bereiche links von der gestrichelten Linie ein Äquivalent sind. Die BMI-Verteilung reicht von 11 bis 47, während die standardisierte Gaußsche Verteilung, Z, von -3 bis drei reicht. Wir möchten P(X < 30) berechnen. Um dies zu versuchen, werden wir den Z-Wert bestimmen, der X = 30 entspricht, und dann die obige Gaußsche Verteilungstabelle der Qualität verwenden, um die Wahrscheinlichkeit oder die Fläche unter der Kurve zu ermitteln. Die nachfolgende Formel wandelt einen X-Wert in einen Z-Wert um, der auch als einheitlicher Wert bezeichnet wird:

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image110.gif

Dabei ist μ der Mittelwert und σ die Varianz der Variablen X.

Um P(X < 30) zu berechnen, konvertieren wir X=30 in den entsprechenden Z-Score (dies wird als Standardisierung bezeichnet): Somit ist P(X < 30) = P(Z < 0,17). Wir suchen dann die entsprechende Wahrscheinlichkeit für diesen Z-Score aus der Gaußschen Verteilungstabelle der Qualität, die zeigt, dass P(X < 30) = P(Z < 0,17) = 0,5675. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann im Alter von 60 Jahren einen BMI hat, aber 30 Jahre alt ist, 56,75%.

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image111.gif

Ein weiteres Beispiel

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Mann im Alter von 60 Jahren der BMI über 35 liegt, wenn man eine äquivalente Verteilung für den BMI verwendet? Mit anderen Worten, was ist P(X > 35)? Wiederum standardisieren wir:

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image112.gif

Gleichungsbild-Indikator

Standard normal distribution with vertical line at Z=1. The area to the left of this is 0,8413, and the area to the right is 0.1587.

Wir nehmen nun an der Gaußschen Qualitätsverteilungstabelle teil, um P(Z>1) zu erscheinen, und für Z=1,00 entdecken wir, dass P(Z

Vorher, P(Z>1)=1-0,8413=0,1587. Auslegung: Fast 16% der Männer im Alter von 60 Jahren haben einen BMI über 35.

Normalwahrscheinlichkeitsrechner

Alternative zugängliche Inhalte gehen zum Ende des Inline-Objekts

Z-Bewertungen mit R

Als Alternative zum Nachschlagen von Normalwahrscheinlichkeiten in der Tabelle oder zur Verwendung von Excel können wir R zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwenden. Zum Beispiel,

> pnorm(0)

[1] 0.5

Ein Z-Score von 0 (der Mittelwert einer beliebigen Verteilung) hat 50% der Fläche auf der linken Seite. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 60-jähriger Mann in der obigen Population einen BMI von weniger als 29 (dem Mittelwert) hat? Der Z-Score wäre 0, und pnorm(0)=0,5 oder 50%.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 60-jähriger Mann einen BMI von weniger als 30 hat? Der Z-Score betrug 0,16667.

> pnorm(0,16667)

[1] 0.5661851

Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 56,6%.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 60 Jahre alter Mann einen BMI von über 35 hat?

35-29=6, was eine Standardabweichung über dem Mittelwert ist. So können wir den Bereich links berechnen

> pnorm(1)

[1] 0.8413447

Und dann das Ergebnis von 1,0 subtrahieren.

1-0.8413447= 0.1586553

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein 60-jähriger ld-Mann einen BMI von über 35 hat, beträgt also 15,8%.

Oder wir können R verwenden, um das Ganze in einem einzigen Schritt wie folgt zu berechnen:

> 1-Norm(1)

[1] 0.1586553