Definition, Formel & Beispiele
Zwei geometrische Figuren erscheinen ähnlich, wenn ihre entsprechenden Winkel gleich und ihre entsprechenden Seiten proportional sind. Ein Verhältnis ist ein Bruchteil, der zwei Größen vergleicht. Dieses Bild zeigt zwei ähnliche Figuren mit 4 Seiten.
Die blauen und roten Figuren sind ähnlich.
Die blauen und roten Figuren sind ähnlich.
Die blaue Figur in diesem Bild ähnelt der roten Figur. Jede Seite der roten Figur ist doppelt so groß wie die entsprechende Seite der blauen Figur.
Bei zwei ähnlichen geometrischen Figuren wird das Verhältnis ihrer entsprechenden Seiten als Skalierungsfaktor bezeichnet. Um den Skalierungsfaktor zu ermitteln, identifizieren Sie zwei entsprechende Seiten, eine auf jeder Figur. Notieren Sie den Bericht von einer Länge zur anderen, um den Skalierungsfaktor von einer Figur zur anderen zu finden. In diesem Beispiel beträgt der Skalierungsfaktor von der blauen zur roten Abbildung 1,6 : 3,2 oder 1 : 2. Das bedeutet, dass für eine Längeneinheit auf der blauen Abbildung zwei Längeneinheiten auf der roten Abbildung vorhanden sind. Der Skalierungsfaktor von der roten zur blauen Figur beträgt 3,2 : 1,6 oder 2 : 1.
Verwendung des Skalierungsfaktors
Wenn zwei Abbildungen ähnlich sind, können unterschiedliche Eigenschaften der Abbildung mit Hilfe des Skalierungsfaktors in Beziehung gesetzt werden. Denken Sie beispielsweise an zwei Quadrate, die ähnlich sind. Eines hat eine Seitenlänge von 2 Zoll und das andere eine Seitenlänge von 4 Zoll. Daraus ergibt sich ein Maßstabsfaktor von 1 : 2 vom kleinen Quadrat zum großen Quadrat.
Diese beiden ähnlichen Quadrate haben einen Massstab von 1 : 2 vom kleinen Quadrat bis zum grossen Quadrat.
Ähnliche Quadrate
Um die Seitenlänge des einen Quadrats in Abhängigkeit von der Seitenlänge des anderen zu erhalten, können Sie mit dem Skalierungsfaktor multiplizieren oder dividieren. Sehen wir uns das mit den oben gezeigten Quadraten an.
Angenommen, man sagt Ihnen, dass das kleinste Quadrat eine Seitenlänge von 2 Zoll hat und der Skalierungsfaktor vom kleinsten zum größten 1 : 2 beträgt. Denken Sie daran, dies bedeutet, dass 1 Zoll auf dem kleinsten Quadrat 2 Zoll auf dem größten Quadrat ist. Wenn wir mit dem Skalierungsfaktor 1/2 multiplizieren, erhalten wir eine kleinere Zahl. Dann müssen wir durch den Skalierungsfaktor ‘dividieren’, um eine größere Zahl zu erhalten. Um den Umfang des einen Quadrats bei gleichem Umfang des anderen zu erhalten, können wir mit dem Skalierungsfaktor multiplizieren oder dividieren. Das kleinste Quadrat hat einen Umfang von 8 Zoll. Wir möchten den Umfang des größten Quadrats ermitteln. Auch hier müssen wir wieder durch den Skalierungsfaktor 1 : 2,dividieren.
Das größere Quadrat wird einen 16-Zoll-Umfang haben. Macht das Sinn? Fragen Sie sich: Gehe ich von einer kleineren zu einer größeren Figur oder von einer größeren zu einer kleineren? In diesem Fall sind wir von einer kleineren Figur zu einer größeren übergegangen, also erwarten wir, dass unsere Antwort größer als der ursprüngliche Umfang sein wird.
Um die Fläche des einen Quadrats mit der Fläche des anderen zu vergleichen, können Sie mit dem Quadrat des Skalierungsfaktors multiplizieren oder dividieren. In unserem Beispiel hat das kleinste Quadrat eine Fläche von 4 Quadratzoll. So wie wir durch den Skalierungsfaktor dividiert haben, um den Umfang des größten Quadrats zu bestimmen, werden wir nun durch das Quadrat des Skalierungsfaktors dividieren.
Um das Volumen des einen Würfels bei gleichem Volumen des anderen zu erhalten, können Sie mit dem Würfel des Skalierungsfaktors multiplizieren oder dividieren. Um zu entscheiden, ob man multipliziert oder dividiert, muss man den Wert des Skalierungsfaktors berücksichtigen und ob man von einer größeren zu einer kleineren oder von einer kleineren zu einer größeren Zahl übergeht.
Stellen Sie sich vor, dass wir anstelle von Quadraten zwei Würfel haben, wie große Würfel. Der kleinere Würfel hat eine Seitenlänge von 2 Zoll, und der andere hat eine Seitenlänge von 6 Zoll. Das Volumen des ersten Würfels beträgt 8 Kubikzoll, und der Skalierungsfaktor vom größten zum kleinsten Würfel beträgt 3 : 1. Um das Volumen des größten Würfels zu ermitteln, multiplizieren wir den Würfel mit dem Maßstabsfaktor (bekannt als unser Maßstabsfaktor ist größer als eins; wir wissen, dass wir eine größere Antwort wollen, also multiplizieren wir, anstatt zu teilen).
Das Volumen des zweiten Würfels beträgt somit 216 Kubikzoll. Wenn wir unsere Arbeit überprüfen, können wir es sehen:
Anhand dieser Beispiele können wir die Seitenlänge, den Umfang, die Fläche und das Volumen für jedes Paar ähnlicher Figuren ermitteln. Das macht die Kenntnis des Skalierungsfaktors unglaublich nützlich.
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