Im Grunde ist ein z-Score die Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert eines Informationspunktes. Wie dem auch sei, um so mehr ist er tatsächlich ein Anteil dessen, was die Anzahl der Standardabweichungen unter oder über der Bevölkerung bedeutet, die ein grober Wert ist. Ein z-Score wird auch als Standard-Score bezeichnet und kann sehr wohl auf eine gewöhnliche Streuungskurve gelegt werden. Z-Scores reichen von – 3 Standardabweichungen (die am weitesten links von der gewöhnlichen Aneignungskrümmung liegen würden) bis zu + 3 Standardabweichungen (die am weitesten rechts von der typischen Dispersionskrümmung liegen würden). Um einen z-Score verwenden zu können, muss man den Mittelwert μ und darüber hinaus die Bevölkerungsstandardabweichung σ kennen.

Z-Scores sind ein Ansatz zur Kontrastierung von Ergebnissen aus einem Test mit einer “normalen” Bevölkerung. Ergebnisse aus Tests oder Studien haben eine große Anzahl von potenziellen Ergebnissen und Einheiten. Ungeachtet dessen können diese Ergebnisse regelmäßig scheinbar umsonst gut sein. So kann zum Beispiel die Erkenntnis, dass das Gewicht einer Person 150 Pfund beträgt, großartige Daten sein, doch für den Fall, dass Sie sie mit dem Gewicht der “normalen” Person vergleichen müssen, kann ein Blick auf eine riesige Informationstabelle überwältigend sein (insbesondere, wenn einige wenige Lasten in Kilogramm aufgezeichnet werden). Ein z-Score kann Ihnen zeigen, wo das Gewicht der Person im Vergleich zum Durchschnittsgewicht der Normalbevölkerung liegt

Z Partitur-Rezepte

Das Z-Score-Rezept: Ein Beispiel

Die wesentliche z-Score-Gleichung für ein Beispiel lautet:

z = (x – μ)/σ

Nehmen wir zum Beispiel an, Sie haben ein Testergebnis von 190. Der Test hat einen Mittelwert (μ) von 150 und eine Standardabweichung (σ) von 25. In Erwartung einer typischen Beförderung würde Ihr z-Score so aussehen:

z = (x – μ)/σ

= 190 – 150/25 = 1.6.

Der z-Score gibt Ihnen Aufschluss über die Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert Ihres Scores. In diesem Modell beträgt Ihr Score 1,6 Standardabweichungen über dem Mittelwert.

Austausch z-Score können Sie ebenfalls beobachten, wie die z-Score-Gleichung auf einer Seite erscheint. Dies ist genau das gleiche Rezept wie z = x – μ/σ, dann wiederum wird tatsächlich x̄ (der Mittelwert des Beispiels) anstelle von μ (der Bevölkerungsmittelwert) und s (die Standardabweichung des Beispiels) anstelle von σ (die Standardabweichung der Bevölkerung) verwendet. Ungeachtet dessen sind die Mittel zur Erläuterung des Beispiels eigentlich das Äquivalent.

Z-Score-Gleichung: Standardfehler des Mittelwertes

An dem Punkt, an dem Sie zahlreiche Beispiele haben und die Standardabweichung dieser implizierten Beispiele darstellen müssen (der Standardfehler), würden Sie diese z-Score-Gleichung verwenden:

z = (x – μ)/(σ/σ)

Dieser z-Score wird Ihnen zeigen, wie viele Standardfehler zwischen dem Beispielmittelwert und dem Bevölkerungsmittelwert bestehen.

Testausgabe: In der Regel liegt die mittlere Statur der Damen bei 65″ mit einer Standardabweichung von 3,5″. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein unregelmässiges Beispiel von 50 Damen mit einer durchschnittlichen Statur von 70″ zu finden, die akzeptieren, dass die Statur normalerweise vermittelt wird?

z = (x – μ)/(σ/σ)

= (70 – 65)/(3.5/√50) = 5/0.495 = 10.1

Der Schlüssel liegt hier darin, dass wir einen inspizierenden Transport von Mitteln verwalten, so dass uns klar ist, dass wir uns an den Standardfehler der Gleichung erinnern müssen. Uns ist ebenfalls klar, dass 99% der Qualitäten bei typischer Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb von 3 Standardabweichungen vom Mittelwert liegen (siehe 68 95 99.7 Richtlinien). Auf diese Weise besteht eine Wahrscheinlichkeit von unter 1%, dass ein Beispiel von Damen eine mittlere Statur von 70″ hat.

Verwirrt darüber, wann σ und wann σ genutzt werden soll? Siehe: Sigma/sqrt (n) – aus welchem Grund wird es verwendet?

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3. Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Berechnung eines Z-Scores

Sie können ohne große Streckung einen Z-Wert auf einer TI-83 Addiermaschine oder in Erwartungen übertreffen darstellen. Wie dem auch sei, falls Sie ihn nicht haben, ist es möglich, dass Sie ihn von Hand ermitteln können.

Z-Bewertungen und Standardabweichungen

Eigentlich ist ein z-Score die Anzahl der Standardabweichungen von der mittleren Schätzung der Referenzpopulation (eine Population, deren realisierte Qualitäten aufgezeichnet wurden, wie in diesen Diagrammen die CDC über die Belastungen der Individuen anordnet). Zum Beispiel:

Ein z-Score von 1 entspricht 1 Standardabweichung über den Mittelwert.

Ein Score von 2 entspricht 2 Standardabweichungen über dem Mittelwert.

Ein Wert von – 1,8 ist – 1,8 Standardabweichungen unter dem Mittelwert.

Ein z-Score verrät Ihnen, wo die Partitur auf einer typischen Dispersionskrümmung liegt. Ein z-Score von Null zeigt Ihnen, dass die Qualitäten tatsächlich normal sind, während ein Score von +3 Ihnen offenbart, dass der Wert viel höher als normal ist.

Wie wird es tatsächlich genutzt?

Sie können die z-Tabelle und das gewöhnliche Beförderungsdiagramm verwenden, um sich ein Bild davon zu machen, wie ein z-Wert von 2,0 “höher als normal” bedeutet. Angenommen, Sie haben das Gewicht einer Person (240 Pfund) und Sie wissen, dass ihr z-Wert 2,0 beträgt. Ihnen ist klar, dass 2,0 besser als erwartet ist (aufgrund der hohen Anordnung auf der normalen Umlaufkurve), doch Sie müssen sich klar machen, um welchen Betrag dieses Gewicht besser als erwartet ist.

Der z-Score ist der Brennpunkt der Biegung ist Null. Die z-Scores zu einer Seite des Mittelwertes sind sicher und die z-Scores zu einer Seite des Mittelwertes sind negativ. Für den unwahrscheinlichen Fall, dass Sie sich den Wert in der z-Tabelle ansehen, können Sie bestimmen, welche Bevölkerungszahl über oder unter Ihrem Wert liegt. Die Tabelle unten zeigt einen Z-Wert von 2,0, der bei 0,9772 liegt (was sich auf 97,72% ändert). Falls Sie einen Blick auf einen ähnlichen Wert (2,0) der gewöhnlichen Streuungskurve oben werfen, sehen Sie, dass er im Vergleich zu 97,72% steht.

Das sagt Ihnen, dass 97,72% der Werte der Bevölkerung unter diesem bestimmten Wert liegen und 100% – 97,72% = 2,28% der Werte über diesem Wert liegen. Nur 2,28% der Bevölkerung liegen über dem Gewicht dieser Person…..wahrscheinlich ein guter Hinweis darauf, dass sie eine Diät einhalten muss!