En geometría, la colinealidad de un conjunto de puntos es la propiedad de que se encuentren en una sola línea[1]. Se dice que un conjunto de puntos con esta propiedad es colineal (a veces se escribe como colineal[2]). En términos más generales, el término se ha utilizado para los objetos alineados, es decir, las cosas que están “en una línea” o “en una fila”.
Puntos en una línea
En cualquier geometría, se dice que el conjunto de puntos de una línea es colineal. En la geometría euclidiana, esta conexión se representa naturalmente mediante focos que se encuentran sucesivamente en una “línea recta”. Sea como fuere, en muchas geometrías (contando la euclidiana) una línea es comúnmente un tipo de objeto crudo (indistinto), por lo que tales representaciones no serán realmente adecuadas. Un modelo para la geometría ofrece una interpretación de cómo los puntos, las líneas y otros tipos de elementos se identifican entre sí y una idea, por ejemplo, la colinealidad debe ser descifrada dentro del entorno de ese modelo. Por ejemplo, en la geometría circular, donde las líneas son habladas en el modelo estándar por increíbles círculos de un círculo, conjuntos de focos colineales se encuentran en un círculo extraordinario similar. Estos enfoques no se encuentran en “línea recta” en el sentido euclidiano y no se consideran como una sucesión.
El mapeo de una geometría a sí misma que envía líneas a las líneas se conoce como una colineación; esto gelifica la propiedad de colinealidad. Los mapas rectos (o elementos directos) de los espacios vectoriales, vistos como mapas geométricos, trazan líneas a líneas; es decir, trazan conjuntos de guías colineales hacia conjuntos de puntos colineales como, son colineaciones. En la geometría proyectiva estos mapeos directos se denominan homogeneidades y son sólo un tipo de colisión.
Ejemplos en la geometría euclidiana
Triángulos
En cualquier triángulo los siguientes conjuntos de puntos son colineales:
El ortocentro, el circuncentro, el centroide, el punto de Exeter, el punto de Longchamps, y el centro del círculo de nueve puntos son colineales, todos cayendo en una línea llamada la línea de Euler.
El punto de Longchamps también tiene otras colineidades.
Cualquier vértice, la tangencia del lado opuesto con un círculo, y el punto de Nagel son colineales en una línea llamada divisor del triángulo.
El punto medio de cualquier lado, el punto que está equidistante de él a lo largo de la frontera del triángulo en cualquier dirección (por lo que estos dos puntos bisectan el perímetro), y el centro del círculo Spieker están colineados en una línea llamada cuchilla del triángulo. (El círculo Spieker es el incirculo del triángulo medial, y su centro es el centro de masa del perímetro del triángulo).
Cualquier vértice, la tangencia del lado opuesto al incirculo, y el punto de Gergonne son colineales.
Desde cualquier punto del círculo de un triángulo, los puntos más cercanos en cada uno de los tres lados extendidos del triángulo están colineados en la línea de Simson del punto del círculo.
Las líneas que conectan los pies de las altitudes intersectan los lados opuestos en puntos colineales.[3]:p.199
El incentro de un triángulo, el punto medio de una altitud, y el punto de contacto del lado correspondiente con la excitación relativa a ese lado son colineales.[4]:p.120,#78
El teorema de Menelao afirma que tres puntos {\\i} de los lados (algunos extendidos) de un triángulo opuesto a los vértices {\i},P_{2},P_{3} de estilo P_{1},A_{2},A_{3}}A_{1},A_{2},A_{2},A_{3} respectivamente son colineales si y sólo si los siguientes productos de las longitudes de los segmentos son iguales:[3]:p. 147
El incentro, el centroide y el centro del círculo Spieker son colineales.
El circuncentro, el punto medio de Brocard y el punto Lemoine de un triángulo son colineales.[5]
Dos líneas perpendiculares que se intersectan en el ortocentro de un triángulo, cada una de ellas intersecta cada uno de los lados extendidos del triángulo. Los puntos medios de los tres lados de estos puntos de intersección están colineados en la línea Droz-Farny.
Cuadriláteros
En un cuadrilátero convexo ABCD cuyos lados opuestos se intersectan en E y F, los puntos medios de AC, BD y EF son colineales y la línea que los atraviesa se llama línea de Newton (a veces conocida como línea Newton-Gauss [cita necesaria]). Si el cuadrilátero es un cuadrilátero tangencial, entonces su incentro también se encuentra en esta línea.[6]
En un cuadrilátero convexo, el cuasicentro H, el “área central” G, y el cuasicentro O son colineales en este orden, y HG = 2GO.[7] (Ver Cuadrilátero#Puntos y líneas destacables en un cuadrilátero convexo.)
Otras colineidades de un cuadrilátero tangencial se dan en Cuadrilátero tangencial#Puntos colineales.
En un cuadrilátero cíclico, el circuncentro, el vértice centroide (la intersección de los dos bimedios), y el anticentro son colineales.[8]
En un cuadrilátero cíclico, el área centroide, el vértice centroide y la intersección de las diagonales son colineales.[9]
En un trapezoide tangencial, las tangencias del incirculo con las dos bases están colineales con el incentro.
En un trapezoide tangencial, los puntos medios de las patas están colineales con el incentro.
Hexágonos
El teorema de Pascal (también conocido como Teorema del Hexagrama Místico) establece que si se eligen arbitrariamente seis puntos en una sección cónica (es decir, elipse, parábola o hipérbola) y se unen por segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono, entonces los tres pares de lados opuestos del hexágono (extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada la línea de Pascal del hexágono. Lo contrario también es cierto: el teorema de Braikenridge-Maclaurin establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas que atraviesan lados opuestos de un hexágono se encuentran en una línea, entonces los seis vértices del hexágono se encuentran en una cónica, lo que puede ser degenerado como en el teorema del hexágono de Pappus.
Secciones cónicas
Según el teorema de Monge, para tres círculos cualesquiera en un plano, ninguno de los cuales está completamente dentro de uno de los otros, los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas, cada uno tangente externamente a dos de los círculos, son colineales.
En una elipse, el centro, los dos focos y los dos vértices con el menor radio de curvatura son colineales, y el centro y los dos vértices con el mayor radio de curvatura son colineales.
En una hipérbola, el centro, los dos focos y los dos vértices son colineales.
Conos
El centro de masa de un sólido cónico de densidad uniforme se encuentra a un cuarto del camino desde el centro de la base hasta el vértice, en la línea recta que une a ambos.
Tetraedros
El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto Monge y su circuncentro. Estos puntos definen la línea de Euler del tetraedro que es análoga a la línea de Euler de un triángulo. El centro de la esfera de doce puntos del tetraedro también se encuentra en la línea de Euler.
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