Objetivos de aprendizaje

Caracterizar los resultados del binomio

Registrar la probabilidad de obtener X logros en N preliminares

Registrar las probabilidades binomiales agregadas

Localizar la media y la desviación estándar de una apropiación binomial

En el momento en que lanzas una moneda, hay dos resultados potenciales: cara y cruz. Cada resultado tiene una probabilidad fija, el equivalente de preliminar a preliminar. A causa de las monedas, cara y cruz cada una tiene una probabilidad similar de 1/2. Además, en la mayoría de los casos, hay circunstancias en las que la moneda tiene una sola cara, por lo que cara y cruz tienen varias probabilidades. En la presente área, consideramos las apropiaciones de probabilidad para las cuales sólo hay dos resultados potenciales con probabilidades fijas que se suman a una. Estas apropiaciones se llaman apropiaciones binomiales.

Un modelo básico

Los cuatro resultados potenciales que podrían ocurrir en el caso de que tiraras una moneda dos veces se registran en la Tabla 1. Observe que los cuatro resultados son igualmente probables: cada ha de probabilidad 1/4. Para ver esto, note que los lanzamientos de la moneda son libres (ninguno influye en el otro). En lo sucesivo, la probabilidad de una cara en la cara 1 y una cara en la cara 2 es el resultado de P(H) y P(H), que es 1/2 x 1/2 = 1/4. Un cálculo similar se aplica a la probabilidad de un Flip 1 de frente y una cola en el Flip 2. Cada uno es 1/2 x 1/2 = 1/4.

Tabla 1. Cuatro posibles resultados.

Resultado Primera vuelta Segunda vuelta
1 Cabezas Cabezas
2 Cabezas Colas
3 Colas Cabezas
4 Colas Colas

Los cuatro resultados potenciales pueden ordenarse en función del número de cabezas que salen a la superficie. El número podría ser dos (Resultado 1), uno (Resultados 2 y 3) o 0 (Resultado 4). Las probabilidades de estos resultados concebibles aparecen en la Tabla 2 y en la Figura 1. Dado que dos de los resultados hablan del caso en que sólo aparece una cabeza en los dos huracanes, la probabilidad de esta ocasión equivale a 1/4 + 1/4 = 1/2. La tabla 2 condensa la circunstancia.

Consiguiendo 0, 1, o 2 cabezas.

Número de cabezas Probabilidad
0 1/4
1 1/2
2 1/4

La fórmula de las probabilidades binómicas

El transporte binomial comprende las probabilidades de cada una de las cantidades potenciales de logros en los preliminares N para las ocasiones autónomas que cada una tiene una probabilidad de π (la letra griega pi) de suceder. Para el modelo de lanzamiento de moneda, N = 2 y π = 0,5. La ecuación para la dispersión binomial se demuestra de la siguiente manera:

donde P(x) es la probabilidad de x triunfos de N preliminares, N es el número de preliminares, y π es la probabilidad de logro en un preliminar dado. Aplicando esto al modelo de lanzamiento de monedas,

En la remota posibilidad de que lances una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos una cabeza? Dado que la probabilidad de obtener precisamente una cabeza es de 0,50 y la probabilidad de obtener precisamente dos cabezas es de 0,25, la probabilidad de obtener al menos una cabeza es de 0,50 + 0,25 = 0,75.

Actualmente asumimos que la moneda es de una sola cara. La probabilidad de que haya cabezas es sólo de 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cabezas en cualquier caso una vez en dos lanzamientos? Sustituyendo en la ecuación general de arriba, debería adquirir la respuesta apropiada .64.

Probabilidades totales

Lanzamos una moneda varias veces. ¿Cuál es la probabilidad de que consigamos de 0 a 3 cabezas? La respuesta apropiada se encuentra procesando la probabilidad de exactamente 0 cabezas, precisamente 1 cabeza, precisamente 2 cabezas, y precisamente 3 cabezas. La probabilidad de obtener de 0 a 3 cabezas es entonces el conjunto de estas probabilidades. Las probabilidades son: 0,0002, 0,0029, 0,0161 y 0,0537. El total de las probabilidades es 0,073. El cálculo de las probabilidades binomiales agregadas puede ser muy repetitivo. De esta manera, hemos dado un crujido de números binomiales para hacer más simple el cálculo de estas probabilidades.

Media y desviación estándar de las circulaciones binomiales

Considere una prueba de lanzamiento de monedas en la que se lanzó una moneda varias veces y se registró el número de cabezas. En el caso de que usted haya realizado este análisis una y otra vez, ¿cuál podría ser el número medio de cabezas? En general, se esperaría que una gran parte de los lanzamientos de monedas se hicieran con cabezas. Por lo tanto, el número medio de cabezas sería 6. Por regla general, la media de una apropiación binómica con los parámetros N (la cantidad de preliminares) y π (la probabilidad de progreso en cada preliminar) es:

μ = Nπ

donde μ es la media de la dispersión del binomio. La fluctuación de la dispersión binomial es:

σ2 = Nπ(1-π)

donde σ2 es la fluctuación de la circulación del binomio.

¿Qué tal si volvemos a la prueba de la moneda. La moneda fue lanzada varias veces, así que N = 12. Una moneda tiene una probabilidad de 0,5 de salir cara. De esta manera, π = 0,5. La media y la fluctuación pueden ser procesadas de esta manera:

μ = Nπ = (12)(0.5) = 6

σ2 = Nπ(1-π) = (12)(0.5)(1.0 – 0.5) = 3.0.

Normalmente, la desviación estándar (σ) es la base cuadrada del cambio (σ2).