Comprender las matemáticas del cambio continuo.

El cálculo es el estudio matemático de las cosas que cambian: coches que aceleran, planetas que se mueven alrededor del sol, economías que fluctúan. Para pensar en estas cantidades en evolución, en el siglo XVII se creó otra disposición de aparatos – la analítica -, siempre ajustando el curso de las matemáticas y la ciencia.

experiencia analítica funcional que cualquier investigador, especialista o matemático anhelante necesita.

Límites del infinito

A veces no vamos a resolver algo directamente… pero veremos qué es lo que debe ser cuando nos encontremos y nos acerquemos!

Ejemplo:

(x2 – 1)(x – 1)

Vamos a calcularlo para x=1:

Ahora 0/0 puede ser una dificultad! no sabemos realmente el valor de 0/0 (es “indeterminado”), así que nos gustaría responder de otra manera.

Así que en lugar de intentar averiguarlo para x=1, intentemos acercarnos cada vez más:

Ejemplo Continuación del ejemplo:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Ahora vemos que como x se pone al borde de 1, entonces (x2-1)(x-1) se pone al borde de 2

Ahora nos enfrentamos a una situación estimulante:

Cuando x=1 no conocemos la solución (es indeterminada)

Pero veremos que se está convirtiendo en 2

Queremos ofrecer la solución “2” pero no podemos, así que en su lugar los matemáticos dicen exactamente lo que está pasando usando la palabra especial “límite”

El límite de (x2-1)(x-1) cuando x se acerca a 1 es 2

Y está escrito en símbolos como:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Así que es una forma especial de decir, “ignorando lo que pasa una vez que llegamos allí, pero a medida que nos encontramos y nos acercamos la solución se acerca cada vez más a 2”

Como un gráfico es así:

Así que, en realidad, no podemos decir cuál es el valor de x=1.

Pero diremos que a medida que nos acerquemos a 1, el límite es 2.

Es como correr por una colina y luego encontrar el rastro es mágicamente “no hay”…

…pero si sólo revisamos un lado, ¿quién sabe qué pasará?

¡Así que nos gustaría comprobarlo desde ambas direcciones para asegurarnos de dónde “debería estar”!

Ejemplo Continuación

Entonces, intentemos desde el lado opuesto:

x (x2 – 1)(x – 1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

… …

También se dirige a dos, así que está bien.

Resumen rápido de los límites

A veces no vamos a resolver algo directamente… pero veremos qué es lo que debe ser cuando nos encontremos y nos acerquemos!

Ejemplo:

(x2 – 1)(x – 1)

Vamos a calcularlo para x=1:

Ahora 0/0 puede ser una dificultad! no sabemos realmente el valor de 0/0 (es “indeterminado”), así que nos gustaría responder de otra manera.

Así que en lugar de intentar averiguarlo para x=1, intentemos acercarnos cada vez más:

Ejemplo Continuación del ejemplo:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Ahora vemos que como x se pone al borde de 1, entonces (x2-1)(x-1) se pone al borde de 2

Ahora nos enfrentamos a una situación estimulante:

Cuando x=1 no conocemos la solución (es indeterminada)

Pero veremos que se está convirtiendo en 2

Queremos ofrecer la solución “2” pero no podemos, así que en su lugar los matemáticos dicen exactamente lo que está pasando usando la palabra especial “límite”

El límite de (x2-1)(x-1) cuando x se acerca a 1 es 2

Y está escrito en símbolos como:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Así que es una forma especial de decir, “ignorando lo que pasa una vez que llegamos allí, pero a medida que nos encontramos y nos acercamos la solución se acerca cada vez más a 2”

Como un gráfico es así:

Así que, en realidad, no podemos decir cuál es el valor de x=1.

Pero diremos que a medida que nos acerquemos a 1, el límite es 2.