La conjetura original de Goldbach (a veces llamada la conjetura “ternaria” de Goldbach), escrita en una carta del 7 de junio de 1742 a Euler, afirma “por lo menos parece que cada número que es mayor que 2 es la suma de tres primos” (Goldbach 1742; Dickson 2005, p. 421). Nótese que Goldbach creía que el número 1 era un primo, un espectáculo que nunca más se persigue. Como lo volvió a comunicar Euler, un tipo igual de esta conjetura (llamada conjetura “sólida” o “doble” de Goldbach) afirma que todos los números pares positivos >=4 pueden ser comunicados como la suma de dos primos. Dos primos (p,q) con el objetivo final de que p+q=2n para n un número entero positivo se denominan de vez en cuando un segmento de Goldbach (Oliveira e Silva).

Como indica Hardy (1999, p. 19), “Es casi sencillo hacer conjeturas inteligentes; sin duda, hay hipótesis, similares al ‘Teorema de Goldbach’, que nunca han sido demostradas y que cualquier truco podría haber especulado” Faber y Faber ofrecieron un premio de 10.000 dólares a cualquier persona que demostrara la conjetura de Goldbach entre el 20 de marzo de 2000 y el 20 de marzo de 2002, sin embargo el premio no fue reclamado y la conjetura permanece abierta.

Schnirelman (1939) demostró que cada número significativo puede ser compuesto como la totalidad de no más de 300.000 primos (Dunham 1990), lo que parece estar bastante lejos de una prueba para dos primos! Pogorzelski (1977) profesó haber demostrado la conjetura de Goldbach, sin embargo, su verificación no es comúnmente reconocida (Shanks 1985). La tabla adjunta abrevia los límites n con el objetivo final de que la sólida conjetura de Goldbach ha demostrado ser válida para los números <n.

bound   referencia

1×10^4 Desboves 1885

1×10^5 Pipping 1938

1×10^8 Stein y Stein 1965ab

2×10^(10)             Granville y otros. 1989

4×10^(11)             Sinisalo 1993

1×10^(14)             Deshouillers y otros, 1998

4×10^(14)             Richstein 1999, 2001

2×10^(16)             Oliveira e Silva (24 de marzo de 2003)

6×10^(16)             Oliveira e Silva (3 de octubre de 2003)

2×10^(17)             Oliveira e Silva (5 de febrero de 2005)

3×10^(17)             Oliveira e Silva (30 de diciembre de 2005)

12×10^(17)          Oliveira e Silva (14 de julio de 2008)

4×10^(18)             Oliveira e Silva (abril de 2012)

La conjetura de que todos los números impares >=9 son el agregado de tres primos impares se conoce como la conjetura “débil” de Goldbach. Vinogradov (1937ab, 1954) demostró que cada número impar adecuadamente enorme es el agregado de tres primos (Nagell 1951, p. 66; Guy 1994), y Estermann (1938) demostró que prácticamente todos los números pares son los totales de dos primos. El único “adecuadamente enorme” de Vinogradov N>=3^(3^(15)) aprox. e^(e^(16.573)) aprox. 3.25×10^(6846168) fue por lo tanto disminuido a e^(e^(11.503)) aprox. 3.33×10^(43000) por Chen y Wang (1989). Chen (1973, 1978) también demostró que todos los números pares adecuadamente enormes son el conjunto de un primo y el resultado de todas las cosas consideradas dos primos (Guy 1994, Courant y Robbins 1996). Más de dos siglos después de que se expresara la primera conjetura, la frágil conjetura de Goldbach fue demostrada por Helfgott (2013, 2014).

Una variante más fundamentada de la frágil conjetura, en particular, que cada número impar >=7 puede ser comunicado como el total de un primo además de dos veces un primo se conoce como la conjetura de Levy.

Una explicación igual de la conjetura de Goldbach es que por cada número entero positivo m, hay primos p y q con el objetivo final de que

donde Pi_2 es la constante de los primos gemelos (Halberstam y Richert 1974).