Procedimiento de Poisson

El Procedimiento de Poisson es un modelo para una progresión de ocasión discreta en la que se conoce el tiempo normal entre ocasiones, sin embargo la planificación cuidadosa de las ocasiones es arbitraria. La apariencia de una ocasión es autónoma de la ocasión anterior (el tiempo entre las ocasiones no tiene memoria). Por ejemplo, supongamos que reivindicamos un lugar que nuestro sistema de transporte de sustancias (CDN) nos hace saber que se hunde todo lo considerado una vez cada 60 días, sin embargo una decepción no influye en la probabilidad de lo siguiente. Todo lo que sabemos es el tiempo normal entre decepciones. Este es un procedimiento de Poisson que se asemeja:

El punto significativo es que sabemos el tiempo normal entre las ocasiones, pero están arbitrariamente separados (estocástico). Podemos tener decepciones consecutivas, pero también podríamos pasar mucho tiempo entre decepciones debido a lo azaroso del procedimiento.

Un Procedimiento de Poisson cumple los criterios que lo acompañan (en toda la actualidad numerosas maravillas mostradas como formas de Poisson no cumplen precisamente con estos):

Las ocasiones no tienen nada que ver entre sí. El evento de una ocasión no influye en la probabilidad de que ocurra otra ocasión.

La tasa normal (ocasiones por período de tiempo) es consistente.

Dos ocasiones no pueden ocurrir simultáneamente.

El último punto – las ocasiones no son sincrónicas – implica que podemos pensar en cada subinterno de un procedimiento de Poisson como un Preliminar de Bernoulli, es decir, o un triunfo o una decepción. Con nuestro sitio, todo el interino podría ser de 600 días, pero cada subinterino – en algún momento – nuestro sitio se cae o no.

Los casos normales de las formas de Poisson son clientes que llaman a un foco de asistencia, invitados a un sitio, putrefacción radiactiva en las moléculas, fotones que aterrizan en un telescopio espacial, y desarrollos en el costo de las acciones. Las formas Poisson están en su mayoría conectadas con el tiempo, pero no es necesario que lo estén. En el caso de las existencias, podemos conocer los desarrollos normales cada día (ocasiones por tiempo), sin embargo, también podríamos tener un procedimiento Poisson para el número de árboles en una sección de la tierra (ocasiones por territorio).

(Un ejemplo que a menudo se da para un Procedimiento de Poisson son las apariencias de transporte (o trenes o ahora Ubers). Sin embargo, este no es un proceso de Poisson genuino, ya que las apariencias no están libres de cada una de ellas. En cualquier caso, los esquemas de transporte que no funcionan según lo previsto, independientemente de que un transporte se retrase, influyen en el tiempo de aparición del siguiente transporte. Jake VanderPlas tiene un artículo increíble sobre la aplicación de un procedimiento Poisson a los tiempos de aparición de los transportes que se agita preferentemente con información inventada que con información verdadera).

El transporte de Poisson

El Procedimiento de Poisson es el modelo que usamos para representar ocasiones que suceden al azar y sin la aportación de nadie más, no es irrazonablemente valioso. Necesitamos la Dispersión de Poisson para lograr cosas intrigantes como encontrar la probabilidad de varias ocasiones en un lapso de tiempo o encontrar la probabilidad de permanecer en algún momento hasta la siguiente ocasión.

La capacidad de masa de probabilidad de la Diseminación de Poisson da la probabilidad de observar k ocasiones en un marco temporal dada la duración del período y las ocasiones normales por tiempo:

Esto es algo enredado, y ocasiones/tiempo * tiempo de duración es normalmente racionalizado en un parámetro solitario, λ, lambda, el parámetro de la tasa. Con esta sustitución, el trabajo de probabilidad de la Circulación de Poisson tiene actualmente un parámetro:

Lambda puede considerarse como el número normal de ocasiones en el ínterin. (Cambiaremos a llamar a esto un interino en base a que recordemos que, no necesitamos utilizar un marco temporal, podríamos utilizar la región o el volumen dependiendo de nuestro procedimiento de Poisson). Me gusta trabajar en lambda para recordarme que el parámetro de la tasa es un elemento tanto de las ocasiones normales por tiempo como de la duración del marco de tiempo, aunque normalmente se considera que está directamente por encima.

A medida que cambiamos el parámetro de la tasa, λ, cambiamos la probabilidad de ver varias cantidades de ocasiones en un solo intervalo. El gráfico de abajo es la capacidad de masa de probabilidad de la apropiación de Poisson que indica la probabilidad de que ocurran varias ocasiones en un intervalo con varios parámetros de tasa.

El número de ocasiones, con toda probabilidad, en el ínterin para cada curva es el parámetro de la tasa. Esto es un buen augurio, ya que el parámetro de la tasa es el número normal de ocasiones en el ínterin y, de esta manera, cuando se trata de un número entero, el parámetro de la tasa será el número de ocasiones con mayor probabilidad.

En el momento en que sea cualquier cosa menos un número entero, la probabilidad más elevada un número de ocasiones será el número más cercano al parámetro de la tasa, ya que la circulación de Poisson se caracteriza por un número discreto de ocasiones. La idea discreta de la circulación de Poisson es, además, la razón por la que se trata de una capacidad de masa de probabilidad y no de un trabajo de espesor. (El parámetro de la tasa es adicionalmente la media y el cambio de la circulación, que no deben ser números enteros).

Podemos utilizar la capacidad de masa de transporte de Poisson para descubrir la probabilidad de observar varias ocasiones sobre un interino creado por un procedimiento de Poisson. Otra utilización de la condición de trabajo de la masa – como veremos más adelante – es descubrir la probabilidad de observar algún tiempo entre ocasiones.

Un modelo de trabajo

Para el tema que iluminaremos con una dispersión de Poisson, podríamos proceder con decepciones de sitio, pero propongo algo más excelente. En mi juventud, mi padre me traía regularmente a nuestro patio para ver (o intentar ver) las lluvias de meteoritos. No éramos empollones del espacio, pero ver los artículos de un naufragio espacial en el cielo era suficiente para salir a la calle a pesar de que las lluvias de meteoros parecían ocurrir constantemente en los meses más fríos.

El número de meteoros que se ve puede ser mostrado como una dispersión de Poisson a la luz del hecho de que los meteoros son autónomos, el número normal de meteoros cada hora es constante (por el momento), y – esto es una estimación – los meteoros no ocurren todo el tiempo. Para representar el transporte de Poisson, todo lo que necesitamos es el parámetro de la tasa que es la cantidad de ocasiones/intervalo * longitud interina. Por lo que recuerdo, se nos aconsejó esperar 5 meteoros por cada hora o uno como un reloj. Debido a la limitada tolerancia de un pequeño joven (particularmente en una noche de solidificación), nunca nos quedamos fuera más de una hora, así que utilizaremos eso como el tiempo de duración. Ensamblando los dos, obtenemos:

¿Qué significa exactamente “5 meteoros anticipados”? Considerando todo, como indicó mi cínico padre, eso implicaba que veríamos 3 meteoros en 60 minutos, máximo. En ese momento, no tenía habilidades en ciencias de la información y confiaba en su juicio. Ahora que estoy más establecido y tengo una sólida medida de sospecha hacia las figuras de poder, es una oportunidad ideal para poner su anuncio bajo un serio escrutinio. Podemos utilizar el transporte de Poisson para descubrir la probabilidad de ver exactamente 3 metros en una sola hora de percepción:

14% o alrededor de 1/7. En la remota posibilidad de que saliéramos constantemente durante varias semanas, en ese momento, podríamos anticipar que mi padre debería corregirlo una vez de forma decisiva. Aunque es agradable saber eso, lo que buscamos es la diseminación, la probabilidad de ver varias cantidades de meteoritos. Hacer esto a mano es aburrido, así que utilizaremos Python – que puedes encontrar en este bloc de notas de Jupyter – para el cálculo y la percepción.

El diagrama de abajo muestra la Capacidad de Masa de Probabilidad para el número de meteoros en una hora con un tiempo normal entre los meteoros de 12 minutos (lo que equivale a decir 5 meteoros esperados en 60 minutos).

¡Esto es lo que significa “5 ocasiones anticipadas”! El número probable de meteoritos es 5, el parámetro de la tasa de dispersión. (Debido a la excentricidad de los números, 4 y 5 tienen una probabilidad similar, 18%). De la misma manera, con cualquier transporte, hay uno en toda probabilidad de estima, sin embargo, hay además una amplia gama de cualidades potenciales. Por ejemplo, podríamos salir y ver 0 meteoros, o podríamos ver más de 10 de cada 60 minutos. Para descubrir las probabilidades de estas ocasiones, utilizamos una condición similar, sin embargo, esta vez determinamos la totalidad de las probabilidades (véase el bloc de notas para las sutilezas).

Previamente determinamos la oportunidad de considerar precisamente ser meteoros en un 14%. La posibilidad de ver 3 o menos meteoros en una sola hora es del 27%, lo que implica que la probabilidad de ver más de 3 es del 73%. De la misma manera, la probabilidad de más de 5 metros es del 38,4% mientras que podríamos esperar ver 5 o menos meteoros en el 61,6% de las horas de percepción. A pesar de que es poco, hay un 1,4% de posibilidades de ver más de 10 metros en 60 minutos.

Para imaginar estas situaciones potenciales, podemos hacer un examen haciendo que nuestra hermana registre el número de meteoritos que ve cada hora durante 10.000 horas. Los resultados aparecen en el histograma de abajo: