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Multiplicadores de Lagrange, también llamados multiplicadores de Lagrange (por ejemplo.., Arfken 1985, p. 945), pueden ser utilizados para descubrir el extremo de una capacidad multivariante f(x_1,x_2,…,x_n) sujeta al imperativo g(x_1,x_2,…,x_n)=0, donde f y g son capacidades con persistentes subordinadas primeras a mitad de camino en el conjunto abierto que contiene la curva g(x_1,x_2,…,x_n)=0, y del g!=0 en cualquier momento de la curva (donde del es el ángulo).

Para que exista un extremo de f en g, el ángulo de f debe coincidir con la pendiente de g. En la delimitación anterior, f aparece en rojo, g en azul, y el punto de cruce de f y g se muestra en azul claro. La inclinación es un vector plano (es decir, no tiene un segmento z) que muestra el rumbo que la capacidad aumenta; para g es opuesto a la curva, que es una línea recta para esta situación. En el caso de que las dos inclinaciones sean similares, en ese punto una es diferente (- lambda) de la otra, por lo que

Los dos vectores son iguales, así que todos sus componentes también lo son, dando

para todo k=1, …, n, donde la constante lambda se llama el multiplicador de Lagrange.

El extremo se encuentra entonces resolviendo las ecuaciones de n+1 en n+1 incógnitas, lo que se hace sin invertir g, por lo que los multiplicadores de Lagrange pueden ser tan útiles.

Para las múltiples restricciones

_1=0, , ._2=0..,

del f+lambda_1del g_1+lambda_2del g_2+...=0.