Hay varios resultados estrechamente relacionados que se conocen como el teorema del binomio según la fuente. Aún más confuso es que varios de estos (y otros) resultados relacionados se conocen como la fórmula del binomio, la expansión del binomio y la identidad del binomio, y la identidad misma a veces se denomina simplemente “serie del binomio” en lugar de “teorema del binomio”.

El caso más general del teorema del binomio es la identidad de la serie del binomio

Description: (nu; k)

Donde es

un coeficiente binomial y nu es un número real. Esta serie converge para nu>=0 un entero, o |x/a|<1. Esta forma general es lo que Graham et al. (1994, p. 162). Arfken (1985, p. 307) llama al caso especial de esta fórmula con a=1 el teorema del binomio.

Cuando nu es un entero positivo n, la serie termina en n=nu y puede ser escrita en la forma

Esta forma de la identidad se denomina teorema del binomio por Abramowitz y Stegun (1972)

Las diferentes terminologías están en la siguiente tabla.

Graham y otros (1994)

Arfken (1985)


Abramowitz y Stegun (1972, pág. 10)

El teorema del binomio fue conocido por el caso n=2 de Euclides alrededor del 300 a.C., y fue enunciado en su forma moderna por Pascal en un panfleto póstumo publicado en 1665. El panfleto de Pascal, junto con su correspondencia sobre el tema con Fermat a partir de 1654 (y publicada en 1679) es la base para nombrar el triángulo aritmético en su honor.

Newton (1676) mostró que la fórmula también vale para los números enteros negativos -n,

…la llamada serie binomial negativa y converge para |x|<a.

De hecho, la generalización

 se mantiene para todos los complejos z con |z|<1.