Si una matriz A tiene una matriz de radares no invertibles P (por ejemplo, la matriz [1 1 1; 0 1] tiene el sistema de radares no invertibles [1 0; 0 0]), entonces A no tiene descomposición de radares. Sin embargo, si A es una matriz real m×n con m>n, entonces A puede escribirse utilizando un valor de descomposición llamado singular de la forma

A=UDV^(T).

(1)

Cabe señalar que en la literatura se utilizan varias convenciones nocionistas contrastantes. Press et al. (1992) definen U como una matriz de m×n, D como n×n y V como n×n. Sin embargo, el lenguaje de Wolfram define U como m×m, D como m×n y V como n×n. En ambos sistemas, U y V tienen columnas ortogonales de modo que

U^(T)U=I

(2)

e

V^(T)V=I

(3)

(donde las dos matrices de identidad pueden tener tamaños diferentes), y D tiene entradas sólo a lo largo de la diagonal.

Para una matriz compleja A, la descomposición del valor singular es una descomposición en la forma

A=UDV^(H),

(4)

donde U y V son matrices unitarias, V^(H) es la transposición conjugada de V, y D es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores singulares de la matriz original. Si A es una matriz compleja, entonces siempre hay tal descomposición con valores singulares positivos (Golub y Van Loan 1996, pp. 70 y 73).

La descomposición de valores singulares se implementa en el lenguaje Wolfram como SingularValueDecomposition[m], que devuelve una lista {U, D, V}, donde U y V son matrices y D es una matriz diagonal compuesta por los valores singulares de m.