En géométrie, la colinéarité d’un ensemble de points est la propriété de leur position sur une seule ligne[1]. Un ensemble de points ayant cette propriété est dit colinéaire (parfois orthographié comme colinéaire[2]). De manière plus générale, le terme a été utilisé pour les objets alignés, c’est-à-dire les choses étant “en ligne” ou “en ligne”.

Points sur une ligne

Dans toute géométrie, on dit que l’ensemble des points d’une ligne est colinéaire. Dans la géométrie euclidienne, cette connexion est naturellement représentée par des foyers situés successivement sur une “ligne droite”. Quoi qu’il en soit, dans de nombreuses géométries (en comptant la géométrie euclidienne), une ligne est généralement un type d’objet brut (indistinct), de sorte que de telles représentations ne conviennent pas vraiment. Un modèle de la géométrie offre une interprétation de la façon dont les points, les lignes et les autres types d’objets s’identifient les uns aux autres et une idée, par exemple la colinéarité, doit être déchiffrée dans le cadre de ce modèle. Par exemple, en géométrie circulaire, où les lignes sont parlées dans le modèle standard par des cercles incroyables, les ensembles de foyers colinéaires se trouvent sur un cercle extraordinaire similaire. De tels foyers ne se trouvent pas sur une “ligne droite” au sens euclidien et ne sont pas considérés comme se succédant.

Une cartographie d’une géométrie à elle-même qui envoie des lignes aux lignes est connue sous le nom de collinéarité ; elle gèle la propriété de colinéarité. Les cartes droites (ou éléments directs) d’espaces vectoriels, vues comme des cartes géométriques, font correspondre des lignes à des lignes ; c’est-à-dire qu’elles font correspondre des ensembles de guides colinéaires à des ensembles de points colinéaires comme, sont des collinéations. En géométrie projective, ces cartographies directes sont appelées homographies et ne sont qu’une sorte de collinéarité.

Exemples en géométrie euclidienne

Triangles

Dans tout triangle, les ensembles de points suivants sont colinéaires :

L’orthocentre, le circoncentre, le centroïde, le point d’Exeter, le point de Longchamps et le centre du cercle de neuf points sont colinéaires, tous tombant sur une ligne appelée ligne d’Euler.

Le point de Longchamps présente également d’autres colinéarités.

Tout sommet, la tangence du côté opposé avec un excercice, et le point de Nagel sont colinéaires sur une ligne appelée séparateur du triangle.

Le point médian d’un côté, le point qui en est équidistant le long de la limite du triangle dans l’une ou l’autre direction (ces deux points coupent donc le périmètre) et le centre du cercle de Spieker sont colinéaires sur une ligne appelée couperet du triangle. (Le cercle de Spieker est l’incercle du triangle médian, et son centre est le centre de masse du périmètre du triangle).

Tout sommet, la tangence du côté opposé à l’encerclement et le point de Gergonne sont colinéaires.

À partir de n’importe quel point du cercle d’un triangle, les points les plus proches de chacun des trois côtés prolongés du triangle sont colinéaires dans la ligne de Simson du point sur le cercle.

Les lignes reliant les pieds des altitudes coupent les côtés opposés en des points colinéaires [3]:p.199

L’incrément d’un triangle, le point médian d’une altitude et le point de contact du côté correspondant avec l’excercice par rapport à ce côté sont colinéaires [4]:p.120,#78

Le théorème de Ménélas stipule que trois points {\de style P_{1},P_{2},P_{3}}P_{1},P_{2},P_{3} sur les côtés (certains prolongés) d’un triangle aux sommets opposés {\de style A_{1},A_{2},A_{3}}A_{1},A_{2},A_{3} respectivement sont colinéaires si et seulement si les produits suivants des longueurs de segments sont égaux :[3]:p. 147

{\displaystyle P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.}P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

L’incentateur, le centroïde et le centre du cercle de Spieker sont colinéaires.

Le centre, le milieu de Brocard et la pointe de Lemoine d’un triangle sont colinéaires[5].

Deux lignes perpendiculaires se coupant à l’orthocentre d’un triangle coupent chacune des côtés prolongés du triangle. Les points médians des trois côtés de ces points d’intersection sont colinéaires dans la ligne Droz-Farny.

Quadrilatères

Dans un quadrilatère convexe ABCD dont les côtés opposés se croisent en E et F, les points médians de AC, BD et EF sont colinéaires et la ligne qui les traverse est appelée ligne de Newton (parfois appelée ligne de Newton-Gauss [citation nécessaire]). Si le quadrilatère est un quadrilatère tangentiel, alors son centre se trouve également sur cette ligne [6].

Dans un quadrilatère convexe, le quasi-thocentre H, le “centre de surface” G et le quasicirconcentre O sont colinéaires dans cet ordre, et HG = 2GO[7] (voir Quadrilatère#points et lignes marquables dans un quadrilatère convexe).

Les autres colinéarités d’un quadrilatère tangentiel sont données en Points de colinéarisation du quadrilatère tangentiel.

Dans un quadrilatère cyclique, le circoncentre, le centroïde du sommet (l’intersection des deux bimédiens) et l’anticentre sont colinéaires[8].

Dans un quadrilatère cyclique, le centroïde de l’aire, le centroïde du sommet et l’intersection des diagonales sont colinéaires[9].

Dans un trapèze tangentiel, les tangences de l’encerclement avec les deux bases sont colinéaires avec l’incentateur.

Dans un trapèze tangentiel, les points médians des jambes sont colinéaires avec l’incentateur.

Hexagones

Le théorème de Pascal (également connu sous le nom de théorème de l’Hexagrammum Mysticum) stipule que si six points arbitraires sont choisis sur une section conique (c’est-à-dire une ellipse, une parabole ou une hyperbole) et reliés par des segments de droite dans un ordre quelconque pour former un hexagone, alors les trois paires de côtés opposés de l’hexagone (prolongées si nécessaire) se rencontrent en trois points qui se trouvent sur une ligne droite, appelée la ligne de Pascal de l’hexagone. L’inverse est également vrai : le théorème de Braikenridge-Maclaurin stipule que si les trois points d’intersection des trois paires de lignes passant par les côtés opposés d’un hexagone se trouvent sur une droite, alors les six sommets de l’hexagone se trouvent sur une conique, qui peut être dégénérée comme dans le théorème de l’hexagone de Pappus.

Sections coniques

Selon le théorème de Monge, pour trois cercles quelconques dans un plan, dont aucun n’est complètement à l’intérieur de l’un des autres, les trois points d’intersection des trois paires de droites, chacune tangente extérieurement à deux des cercles, sont colinéaires.

Dans une ellipse, le centre, les deux foyers et les deux sommets ayant le plus petit rayon de courbure sont colinéaires, et le centre et les deux sommets ayant le plus grand rayon de courbure sont colinéaires.

Dans une hyperbole, le centre, les deux foyers et les deux sommets sont colinéaires.

Cônes

Le centre de masse d’un solide conique de densité uniforme se trouve au quart du chemin entre le centre de la base et le sommet, sur la ligne droite joignant les deux.

Tétraèdres

Le centroïde d’un tétraèdre est le point médian entre son point de Monge et son circoncentre. Ces points définissent la ligne d’Euler du tétraèdre qui est analogue à la ligne d’Euler d’un triangle. Le centre de la sphère à douze points du tétraèdre se trouve également sur la ligne d’Euler.