La conjecture originale de Goldbach (parfois appelée la conjecture “ternaire” de Goldbach), écrite dans une lettre à Euler du 7 juin 1742, déclare “au moins il semble que tout nombre supérieur à 2 soit la somme de trois nombres premiers” (Goldbach 1742 ; Dickson 2005, p. 421). Il est à noter que Goldbach considérait le nombre 1 comme un nombre premier, une démonstration qui n’est plus jamais poursuivie. Comme l’a redit Euler, un type égal de cette supposition (appelé supposition de Goldbach “solide” ou “double”) affirme que tous les nombres pairs positifs >=4 peuvent être communiqués comme l’ensemble de deux nombres premiers. Deux nombres premiers (p,q) dont l’objectif final est que p+q=2n pour n un nombre entier positif sont de temps en temps appelés un segment de Goldbach (Oliveira e Silva).

Comme l’indique Hardy (1999, p. 19), “Il est presque simple de faire des suppositions intelligentes ; il existe sans aucun doute des hypothèses, semblables au “théorème de Goldbach”, qui n’ont jamais été démontrées et que n’importe quelle astuce aurait pu spéculer”. Faber et Faber ont offert un prix de 1000000 dollars à toute personne ayant démontré la supposition de Goldbach entre le 20 mars 2000 et le 20 mars 2002, mais le prix n’a pas été réclamé et la supposition reste ouverte.

Schnirelman (1939) a démontré que chaque nombre significatif peut être composé comme la totalité ne dépassant pas 300000 primes (Dunham 1990), ce qui semble assez loin d’une preuve pour deux primes ! Pogorzelski (1977) a déclaré avoir démontré la supposition de Goldbach, cependant, sa vérification n’est pas communément reconnue (Shanks 1985). Le tableau ci-joint raccourcit les limites n avec pour objectif final de démontrer que la supposition solide de Goldbach est valable pour les nombres <n.

référence liée

1×10^4 Desboves 1885

1×10^5 Pipping 1938

1×10^8 Stein et Stein 1965ab

2×10^(10) Granville et al. 1989

4×10^(11) Sinisalo 1993

1×10^(14) Deshouillers et al. 1998

4×10^(14) Richstein 1999, 2001

2×10^(16) Oliveira e Silva (24 mars 2003)

6×10^(16) Oliveira e Silva (3 oct. 2003)

2×10^(17) Oliveira e Silva (5 février 2005)

3×10^(17) Oliveira e Silva (30 décembre 2005)

12×10^(17) Oliveira e Silva (14 juillet 2008)

4×10^(18) Oliveira e Silva (avr. 2012)

La conjecture selon laquelle tous les nombres impairs >=9 sont l’agrégat de trois nombres premiers impairs est connue sous le nom de “faible” conjecture de Goldbach. Vinogradov (1937ab, 1954) a démontré que chaque nombre impair suffisamment grand est l’agrégat de trois nombres premiers (Nagell 1951, p. 66 ; Guy 1994), et Estermann (1938) a démontré que pratiquement tous les nombres pairs sont les totaux de deux nombres premiers. Le nombre unique “suffisamment grand” de Vinogradov, N>=3^(3^(15)) approx e^(e^(16.573)) approx 3,25×10^(6846168), a donc été réduit à e^(e^(11.503)) approx 3,33×10^(43000) par Chen et Wang (1989). Chen (1973, 1978) a également démontré que tous les nombres pairs suffisamment énormes sont l’ensemble d’un nombre premier et le résultat de tout ce qui est considéré comme deux nombres premiers (Guy 1994, Courant et Robbins 1996). Plus de deux siècles après l’expression de la première supposition, la frêle supposition de Goldbach a été démontrée par Helfgott (2013, 2014).

Une variante plus fondée de la supposition frêle, en particulier, selon laquelle chaque nombre impair >=7 peut être communiqué comme le total d’un nombre premier en plus de deux nombres premiers, est connue sous le nom de supposition de Levy.

Une explication équivalente de la supposition de Goldbach est que pour chaque nombre entier positif m, il y a des nombres premiers p et q avec pour objectif final que

 R(n)∼2Pi_2product_(k=2; p_k|n)(p_k-1)/(p_k-2)int_2^n(dx)/((lnx)^2),

où Pi_2 est la constante des nombres premiers jumeaux (Halberstam et Richert 1974).