Qu’est-ce que le R au carré ?

Le R au carré (R2) est une mesure statistique représentant la proportion de la variance d’une variable dépendante qui est expliquée par une ou plusieurs variables indépendantes dans un modèle de régression. Alors que la corrélation explique la force de la relation entre une variable indépendante et une variable dépendante, le R-carré explique la mesure dans laquelle la variance d’une variable explique la variance de la seconde variable. Ainsi, si le R2 d’un modèle est de 0,50, alors environ la moitié de la variation observée peut être expliquée par les entrées du modèle.

La formule du R au carré est

\begin{aligned} &\text{R}^2 = 1 – \frac{ \text{ \explained variation} }{ \text{Total Variation} } \\\NFin{aligné}R2=1-Variation totaleVariation expliquée

Lors d’un investissement, le R au carré est généralement interprété comme le pourcentage des mouvements d’un fonds ou d’un titre qui peuvent s’expliquer par les mouvements d’un indice de référence. Par exemple, un R au carré pour un titre à revenu fixe comparé à un indice obligataire identifie le pourcentage de variation du prix du titre qui peut être attendu sur la base d’une variation du prix de l’indice. Il en va de même pour une action par rapport à l’indice S&P 500 ou à tout autre indice pertinent.

Calcul du R au carré

Le calcul réel du R au carré nécessite plusieurs étapes. Il faut notamment collecter des points de données (observations) de variables dépendantes et indépendantes et trouver la meilleure ligne d’ajustement, souvent à partir d’un modèle de régression. À partir de là, vous calculez les valeurs attendues, vous soustrayez les valeurs réelles et vous élevez le résultat au carré. De cette façon, vous obtenez une liste d’erreurs au carré, qui est ensuite additionnée et est égale à la variance expliquée.

Pour calculer la variance totale, vous soustrayez la valeur réelle moyenne des valeurs prévues, vous mettez le résultat au carré et vous l’additionnez. Ensuite, vous divisez la première somme des erreurs (variance expliquée) par la deuxième somme (variance totale), vous soustrayez le résultat de un, et vous obtenez le carré R.

Que vous dit R au carré ?

Les valeurs de R au carré vont de 0 à 1 et sont communément appelées 0 à 100 %. Un R au carré de 100 % signifie que tous les mouvements d’un titre (ou d’une autre variable dépendante) sont entièrement expliqués par les mouvements de l’indice (ou de la ou des variables indépendantes qui vous intéressent).

Lors d’un investissement, un R au carré élevé, entre 85 % et 100 %, indique que la performance du titre ou du fonds évolue relativement en ligne avec l’indice. Un fonds avec un R au carré bas, à 70 % ou moins, indique que le titre ne suit généralement pas les mouvements de l’indice. Une valeur R au carré plus élevée indique une valeur bêta plus utile. Par exemple, si une action ou un fonds a une valeur R au carré proche de 100 %, mais a un bêta inférieur à 1, il est probable qu’il offre des rendements corrigés du risque plus élevés.

La différence entre le R au carré et le R au carré ajusté

R-Squared ne fonctionne comme prévu que dans un modèle de régression linéaire simple avec une variable explicative. Dans le cas d’une régression multiple composée de plusieurs variables indépendantes, R-Carré doit être ajusté. Le R-carré ajusté compare le pouvoir descriptif des modèles de régression qui incluent différents nombres de prédicteurs. Chaque prédicteur ajouté à un modèle augmente le R au carré et ne diminue jamais le R au carré. Ainsi, un modèle comportant plus de termes peut sembler mieux adapté simplement parce qu’il comporte plus de termes, tandis que le R-carré ajusté compense l’ajout de variables et n’augmente que si le nouveau terme améliore le modèle au-dessus de ce qu’il devrait être et diminue lorsqu’un prédicteur améliore le modèle moins que ce qui est attendu par hasard. Dans une situation de surajustement, vous obtenez une valeur de R au carré erronément élevée, ce qui entraîne une diminution de la capacité de prédiction. Ce n’est pas le cas avec le R au carré ajusté.

Alors que le R au carré standard peut être utilisé pour comparer la qualité de deux modèles ou de modèles différents, le R au carré ajusté n’est pas une bonne mesure pour comparer des modèles non linéaires ou des régressions linéaires multiples.

La différence entre R au carré et B

Le bêta et le R au carré sont deux mesures de corrélation liées mais différentes, mais le bêta est une mesure du risque relatif. Un fonds commun de placement ayant un R au carré élevé est fortement corrélé avec un indice de référence. Si le bêta est également élevé, il peut produire des rendements plus élevés que le benchmark, en particulier sur les marchés haussiers. Le R au carré mesure le degré de corrélation entre chaque variation du prix d’un actif et un indice de référence. Le bêta mesure l’ampleur de ces variations de prix par rapport à un indice de référence. Utilisés ensemble, R au carré et bêta donnent aux investisseurs une image complète des performances des gestionnaires d’actifs. Un bêta de 1,0 exactement signifie que le risque (volatilité) de l’actif est identique à celui de son indice de référence. En substance, R au carré est une technique d’analyse statistique pour l’utilisation pratique et la fiabilité des bêtas des titres.

Limites de R au carré

R au carré vous donnera une estimation de la relation entre les mouvements d’une variable dépendante basée sur les mouvements d’une variable indépendante. Il ne vous dira pas si le modèle choisi est bon ou mauvais, ni si les données et les prévisions sont biaisées. Un carré R élevé ou faible n’est pas nécessairement bon ou mauvais, car il ne traduit pas la fiabilité du modèle, ni ne vous indique si vous avez choisi la bonne régression. Vous pouvez obtenir un carré R bas pour un bon modèle, ou un carré R haut pour un modèle mal équipé, et vice versa.