Lorsque vous lancez une pièce de monnaie, il y a deux résultats possibles : pile ou face. Chaque résultat a une probabilité fixe, la même d’un test à l’autre. Dans le cas des pièces de monnaie, la tête et la queue ont la même probabilité de 1/2. Plus généralement, il y a des situations où la pièce est biaisée, de sorte que la pile et la face ont des probabilités différentes. Dans cette section, nous considérons les distributions de probabilités pour lesquelles il n’y a que deux issues possibles avec des probabilités fixes ajoutées à une. Ces distributions sont appelées distributions binomiales.

Un exemple simple

Les quatre résultats possibles qui pourraient se produire si vous tirez à pile ou face deux fois sont énumérés dans le tableau 1. Notez que les quatre résultats sont également probables : chacun a une probabilité de 1/4. Pour s’en rendre compte, il faut noter que les coups de pièce de monnaie sont indépendants (aucun n’affecte l’autre). Ainsi, la probabilité d’une tête sur le flip 1 et d’une tête sur le flip 2 est le produit de P(H) et P(H), qui est 1/2 x 1/2 = 1/4. Ce calcul s’applique à la probabilité d’une tête sur le feuillet 1 et d’une queue sur le feuillet 2. Chacune est égale à 1/2 x 1/2 = 1/4.

Tableau 1. Quatre résultats possibles.

Résultats.

Outcome First Flip Second Flip
1 Heads Heads
2 Heads Tails
3 Tails Heads
4 Tails Tails

Résultat Premier flip Deuxième flip
1 Têtes Têtes
2 têtes et queues
3 Pile Tête
4 queues de pie

Premier flip Premier flip Premier flip Premier flip Deuxième flip Résultat

1 Têtes Têtes

2 têtes de queue

3 Têtes de queue

4 files d’attente

Les quatre résultats possibles peuvent être classés en fonction du nombre de têtes qui émergent. Le nombre peut être deux (résultat 1), un (résultats 2 et 3) ou 0 (résultat 4). Les probabilités de ces possibilités sont indiquées dans le tableau 2 et la figure 1. Comme deux des résultats représentent le cas où une seule tête apparaît dans les deux lancers, la probabilité de cet événement est de 1/4 + 1/4 = 1/2. Le tableau 2 résume la situation.

Tableau 2. Probabilité d’obtenir 0, 1 ou 2 têtes.

Obtention de 0, 1 ou 2 têtes.

Number of Heads Probability
0 1/4
1 1/2
2 1/4

 

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial1.jpgNombre de têtes Probabilité
0 1/4
1 1/2
2 1/4

Probabilité du nombre de têtes

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Figure 1. Probabilité de 0, 1 et 2 têtes.

La figure 1 montre une distribution de probabilité discrète : elle indique la probabilité pour chacune des valeurs sur l’axe des X. En définissant une tête comme “succès”, la figure 1 montre la probabilité de 0, 1 et 2 succès pour deux tests (flips) pour un événement qui a une probabilité de 0,5 d’être un succès à chaque test. La figure 1 est donc un exemple de distribution binomiale.

La formule des probabilités binomiales

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial_formula.gif

La distribution binomiale consiste en la probabilité de chacun des nombres de réussite possibles sur N tests pour des événements indépendants qui ont chacun une probabilité d’occurrence π (la lettre grecque pi). Pour l’exemple du tirage au sort, N = 2 et π = 0,5. La formule de la distribution binomiale est présentée ci-dessous:

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial2.gif

où P(x) est la probabilité de x succès de N essais, N est le nombre d’essais et π est la probabilité de succès d’un essai donné. Appliquons cela à l’exemple du tirage au sort,

Si vous lancez une pièce de monnaie deux fois, quelle est la probabilité d’obtenir une ou plusieurs têtes ? Comme la probabilité d’obtenir exactement une tête est de 0,50 et la probabilité d’obtenir exactement deux têtes est de 0,25, la probabilité d’obtenir une ou plusieurs têtes est de 0,50 + 0,25 = 0,75.

Supposons maintenant que la pièce soit biaisée. La probabilité d’obtenir des têtes n’est que de 0,4. Quelle est la probabilité d’obtenir des têtes au moins une fois en deux coups ? En remplaçant la formule générale ci-dessus, vous devriez obtenir la réponse 0,64.

Probabilités cumulées

On tire à pile ou face 12 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir de 0 à 3 têtes ? La réponse est trouvée en calculant la probabilité d’obtenir exactement 0 tête, exactement 1 tête, exactement 2 têtes et exactement 3 têtes. La probabilité d’obtenir de 0 à 3 têtes est alors la somme de ces probabilités. Les probabilités sont les suivantes : 0,0002, 0,0029, 0,0161 et 0,0537. La somme des probabilités est de 0,073. Le calcul des probabilités binomiales cumulées peut être assez ennuyeux. C’est pourquoi nous avons fourni un calculateur binomial pour faciliter le calcul de ces probabilités.

Moyenne et écart-type des distributions binomiales

Considérons une expérience de tirage au sort dans laquelle vous lancez une pièce de monnaie 12 fois et enregistrez le nombre de têtes. Si vous répétez cette expérience à plusieurs reprises, quel serait le nombre moyen de têtes ? En moyenne, vous vous attendez à ce que la moitié des coups de pile ou face aboutissent à des têtes. Le nombre moyen de têtes serait donc de 6. En général, la moyenne d’une distribution binomiale avec les paramètres N (le nombre de tests) et π (la probabilité de réussite de chaque test) est :

μ = Nπ

où μ est la moyenne de la distribution binomiale. La variance de la distribution binomiale est :

σ2 = Nπ(1-π)

où σ2 est la variance de la distribution binomiale.

Revenons à l’expérience du tirage au sort. La pièce de monnaie a été tirée 12 fois, donc N = 12. Une pièce de monnaie a 0,5 chance d’être acceptée. Donc, π = 0,5. La moyenne et la variance peuvent alors être calculées comme suit :

μ = Nπ = (12)(0,5) = 6

σ2 = Nπ(1-π) = (12)(0.5)(1.0 – 0.5) = 3.0.

Bien entendu, l’écart-type (σ) est la racine carrée de la variance (σ2).