Une permutation, également appelée “numéro d’arrangement” ou “ordre”, peut être un réarrangement du temps d’une liste ordonnée S en une correspondance individuelle avec S lui-même. Le nombre de permutations sur un groupe de n éléments est donné par n ! (n factoriel ; Uspensky 1937, p. 18). Par exemple, il y a 2!=2-1=2 permutations de {1,2}, à savoir {1,2} et {2,1}, et 3!=3-2-1=6 permutations de {1,2,3}, à savoir {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2} et {3,2,1}. Les permutations d’un inventaire sont souvent trouvées dans le langage Wolfram à l’aide de la commande Permutations [list]. Un inventaire de longueur n est souvent testé pour vérifier s’il s’agit d’une permutation de 1, …, n dans le langage Wolfram à l’aide de la commande PermutationListQ [list].

Sedgewick (1977) résume la variété des algorithmes de génération de permutations, et identifie l’algorithme de permutation de changement minimum de Heap (1963) comme étant généralement le plus rapide (Skiena 1990, p. 10). Une autre méthode d’énumération des permutations a été donnée par Johnson (1963 ; Séroul 2000, p. 213-218).

Le numéro de la façon d’obtenir un sous-ensemble ordonné de k éléments à partir d’un groupe de n éléments est donné par

_nP_k=(n !)/((n-k) !)

(1)

(Uspensky 1937, p. 18), où n ! peut être un facteur. Par exemple, il y a 4!/2!=12 2-sous-ensembles de {1,2,3,4}, à savoir {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,1}, {2,3}, {2,4}, {3,1}, {3,2}, {3,4}, {4,1}, {4,2} et {4,3}. Les sous-ensembles non ordonnés contenant k éléments sont appelés les k-sous-ensembles d’un ensemble donné.

La représentation d’une permutation en tant que produit de cycles de permutation est exclusive (jusqu’à l’ordre des cycles). Un exemple de décomposition cyclique est la permutation {4,2,1,3} de {1,2,3,4}. Elle est souvent désignée par (2)(143), comme les cycles de permutation disjoints (2) et (143). Il y a une excellente liberté dans le choix de la représentation d’une décomposition cyclique puisque (1) les cycles sont disjoints et peuvent donc être disposés dans n’importe quel ordre, et (2) toute rotation d’un cycle donné spécifie un cycle équivalent (Skiena 1990, p. 20). Par conséquent, (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314) et (2)(143) décrivent tous une permutation équivalente.

Une autre notation qui identifie explicitement les positions occupées par les éléments avant et après l’application d’une permutation sur n éléments utilise une matrice 2×n, où la première ligne est (123…n) et donc la deuxième ligne est que le nouvel arrangement. par exemple, la permutation qui commute les éléments 1 et quelques et fixe 3 serait écrite comme

[1 2 3 ; 2 1 3].

(2)

Toute permutation est en outre le produit de transpositions. Les permutations sont généralement désignées dans l’ordre lexicographique ou de transposition. Il existe une correspondance entre une permutation et une paire de tableaux de Young appelée correspondance Schensted.

Le nombre de permutations erronées de n objets est [n!/e] où [x] est la fonction entière la plus proche. Une permutation de n objets ordonnés pendant laquelle aucun objet n’est à sa place naturelle est appelée un dérangement (ou parfois, une permutation entière) et donc le nombre de ces permutations est donné par le sous-factoriel !n.

En utilisant

(x+y)^n=sum_(r=0)^n(n ; r)x^(n-r)y^r

(3)

avec x=y=1 donne

2^n=sum_(r=0)^n(n ; r),

(4)

donc le numéro de la façon de sélectionner 0, 1, …, ou n à la fois est 2^n.

L’ensemble de toutes les permutations d’un groupe d’éléments 1, …, n sont souvent obtenues en utilisant la procédure récursive suivante

1 2 ; / ; 2 1

(5)

1 2 3 ; / ; 1 3 2 ; / ; 3 1 2 ; | ; 3 2 1 ; \ ; 2 3 1 ; \ ; 2 1 3

(6)

Considérez les permutations au cours desquelles aucune paire d’éléments consécutifs (c’est-à-dire des successions ascendantes ou descendantes) ne se produit. Pour n=1, 2, … éléments, les nombres de ces permutations sont 1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, … (OEIS A002464).

On permute l’ensemble des entiers 1, 2, …, N et on divise donc la séquence résultante en suites croissantes. Dénote la longueur typique de la nième suite lorsque N s’approche de l’infini, L_n. Les quelques valeurs primaires sont résumées dans le tableau suivant, où e est la base du logarithme napierien (Le Lionnais 1983, pp. 41-42 ; Knuth 1998).

n L_n OEIS approximatif

1 e-1 A091131 1.7182818…

2 e^2-2e A091132 1.9524…

3 e^3-3e^2+3/2e A091133 1.9957…