La distribution gaussienne standard peut être une distribution gaussienne avec une moyenne de zéro et une variance de 1. La distribution gaussienne de qualité est centrée sur zéro et donc le degré d’écart d’une mesure donnée par rapport à la moyenne est donné par l’écart de qualité. Pour la distribution gaussienne de qualité, 68 % des observations se situent à moins de 1 variance de la moyenne, 95 % à moins de 2 variances de la moyenne et 99,9 % à moins de 3 écarts types de la moyenne. Jusqu’à présent, nous avons utilisé “X” pour désigner la variable d’intérêt (par exemple, X=BMI, X=taille, X=poids). Cependant, lorsque nous utilisons une distribution gaussienne standard, nous utiliserons “Z” pour demander une variable dans le contexte d’une distribution gaussienne typique. Après normalisation, l’IMC=30 dont il a été question à la page précédente est indiqué ci-dessous, se situant à 0,16667 unités au-dessus de la moyenne de 0 sur la distribution gaussienne de qualité sur le propre.

Puisque le monde sous la courbe de qualité = 1, nous allons commencer à définir plus précisément les possibilités d’observation spécifique. Pour tout Z-score donné, nous calculerons le monde sous la courbe à gauche de ce Z-score. Le tableau dans le cadre ci-dessous montre les possibilités de la distribution gaussienne de qualité. Examinez le tableau et notez qu’un score “Z” de 0,0 indique une probabilité de 0,50 ou 50%, et qu’un score “Z” de 1, c’est-à-dire une variance au-dessus de la moyenne, indique une probabilité de 0,8413 ou 84%. En effet, une variance supérieure et inférieure à la moyenne englobe environ 68% du monde, donc une variance supérieure à la moyenne représente la moitié de celle de 34%. Ainsi, les cinq cents en dessous de la moyenne plus les 34% au-dessus de la moyenne nous donnent 84%.

DISTRIBUTION NORMALE STANDARD : les valeurs du tableau représentent la zone à gauche du score Z.

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 -3.9 .00005 .00005 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00003 .00003 -3.8 .00007 .00007 .00007 .00006 .00006 .00006 .00006 .00005 .00005 .00005 -3. 7 .00011 .00010 .00010 .00010 .00009 .00009 .00008 .00008 .00008 .00008 -3.6 .00016 .00015 .00015 .00014 .00014 .00013 .00013 .00012 .00012 .00011 -3.5 .00023 .00022 .00022 .00021 .00020 .00019 . 00019 .00018 .00017 .00017 -3.4 .00034 .00032 .00031 .00030 .00029 .00028 .00027 .00026 .00025 .00024 -3.3 .00048 .00047 .00045 .00043 .00042 .00040 .00039 .00038 .00036 .00035 -3.2 .00069 .00066 . 00064 .00062 .00060 .00058 .00056 .00054 .00052 .00050 -3.1 .00097 .00094 .00090 .00087 .00084 .00082 .00079 .00076 .00074 .00071 -3.0 .00135 .00131 .00126 .00122 .00118 .00114 .00111 .00107 . 00104 .00100 -2.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .00139 -2.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .00193 -2.7 .00347 .00336 .00326 .00317 . 00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .00264 -2.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .00357 -2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .00480 -2. 4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639 -2.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .00842 -2.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 . 01191 .01160 .01130 .01101 -2.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .01426 -2.0 .02275 .02222 .02169 .02118 .02068 .02018 .01970 .01923 .01876 .01831 -1.9 .02872 .02807 . 02743 .02680 .02619 .02559 .02500 .02442 .02385 .02330 -1.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .02938 -1.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 . 03754 .03673 -1.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .04551 -1.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .05592 -1.4 .08076 .07927 .07780 .07636 . 07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .06811 -1.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08691 .08534 .08379 .08226 -1.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .09853 -1.1 . 13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .11702 -1.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .13786 -0.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 . 16602 .16354 .16109 -0.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .18673 -0.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .21476 -0.6 .27425 .27093 .26763 . 26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .24510 -0.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .27760 -0.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 . 31207 -0.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .34827 -0.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .38591 -0.1 .46017 .45620 .45224 .44828 .44433 . 44038 .43644 .43251 .42858 .42465 -0,0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .46414 DISTRIBUTION NORMALE STANDARD : les valeurs du tableau représentent la zone à gauche du score Z. Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 . 57535 0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 . 67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793 0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 0. 7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524 0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327 0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 . 82894 .83147 .83398 .83646 .83891 1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298 1.2 . 88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147 1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .91774 1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 . 92785 .92922 .93056 .93189 1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408 1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449 1.7 .95543 . 95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 . 97558 .97615 .97670 2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.2 .98610 .98645 . 98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 . 99324 .99343 .99361 2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.7 .99653 .99664 . 99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 . 99856 .99861 3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900 3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929 3.2 .99931 .99934 .99936 . 99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950 3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965 3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 . 99976 3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983 3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989 3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 . 99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992 3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995 3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997

Probabilités de la qualité de la distribution gaussienne Z

Ce tableau est organisé pour fournir le monde sous la courbe à la gauche ou moins d’une valeur spécifiée ou “valeur Z”. Dans ce cas, parce que la moyenne est zéro et donc la variance est 1, la valeur Z est que le nombre d’unités d’écart ordinaire loin de la moyenne, et donc la zone est que la probabilité d’observer une valeur mais cette valeur Z spécifique. Notez également que le tableau indique les probabilités à 2 décimales de Z. Les unités de place et donc la première décimale sont indiquées dans la colonne de gauche, et donc la deuxième décimale est affichée sur la ligne la plus élevée.

Mais revenons à la question de la probabilité que l’IMC soit inférieur à 30, c’est-à-dire P(X)

Distribution de l’IMC et distribution normale standard

L’aire sous chaque courbe est égale à un mais l’échelle de l’axe des X est différente. Notez cependant que les surfaces à gauche de la ligne pointillée sont équivalentes. La distribution de l’IMC va de 11 à 47, tandis que la distribution gaussienne standardisée, Z, va de -3 à 3. Nous aimerions calculer P(X < 30). Pour ce faire, nous déterminerons la valeur Z qui correspond à X = 30 puis nous utiliserons le tableau de distribution gaussienne de qualité ci-dessus pour rechercher la probabilité ou l’aire sous la courbe. La formule suivante convertit une valeur X en un score Z, également appelé score uniforme :

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image110.gif

Où μ est la moyenne et σ est la variance de la variable X.

Afin de calculer P(X < 30), nous convertissons le X=30 en son score Z correspondant (c’est ce qu’on appelle la normalisation) : Ainsi, P(X < 30) = P(Z < 0,17). Nous rechercherons ensuite la probabilité correspondante pour ce score Z dans la table de distribution gaussienne de qualité, qui montre que P(X < 30) = P(Z < 0,17) = 0,5675. Ainsi, la probabilité qu’un homme de 60 ans ait un IMC mais 30 est de 56,75%.

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image111.gif

Autre exemple

En utilisant une distribution équivalente pour l’IMC, quelle est la probabilité qu’un homme de 60 ans ait un IMC supérieur à 35 ? En d’autres termes, quel est le P(X > 35) ? Nous normalisons à nouveau:

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image112.gif

Indicateur d’image d’équation

Standard normal distribution with vertical line at Z=1. The area to the left of this is 0,8413, and the area to the right is 0.1587.

Nous assistons maintenant à la table de distribution gaussienne de qualité pour faire apparaître P(Z>1) et pour Z=1.00 nous découvrons que P(Z

Avant, P(Z>1)=1-0,8413=0,1587. Interprétation : Près de 16% des hommes de 60 ans ont un IMC supérieur à 35.

Calculateur de probabilité normale

Les contenus accessibles alternatifs vont à la fin de l’objet en ligne

Z-Scores avec R

Au lieu de chercher des probabilités normales dans le tableau ou d’utiliser Excel, nous pouvons utiliser R pour calculer les probabilités. Par exemple, on peut utiliser R pour calculer les probabilités,

> pnorm(0)

[1] 0.5

Un Z-score de 0 (la moyenne de toute distribution) a 50% de la surface à gauche. Quelle est la probabilité qu’un homme de 60 ans dans la population ci-dessus ait un IMC inférieur à 29 (la moyenne) ? Le Z-score serait 0, et pnorm(0)=0,5 ou 50%.

Quelle est la probabilité qu’un homme de 60 ans ait un IMC inférieur à 30 ? Le score Z était de 0,16667.

> pnorm(0,16667)

[1] 0.5661851

La probabilité est donc de 56,6 %.

Quelle est la probabilité qu’un homme de 60 ans ait un IMC supérieur à 35 ?

35-29=6, soit un écart-type au-dessus de la moyenne. Nous pouvons donc calculer la zone à gauche

> pnorm(1)

[1] 0.8413447

Puis soustrayez le résultat de 1,0.

1-0.8413447= 0.1586553

Ainsi, la probabilité qu’un homme de 60 ans ait un IMC supérieur à 35 est de 15,8%.

Ou bien, nous pouvons utiliser R pour calculer l’ensemble en une seule étape comme suit :

> 1-pnorme(1)

[1] 0.1586553