Voici mes notes pour le cours sur les conditions différentielles que j’enseigne ici à l’université Lamar. Nonobstant la façon dont ces notes sont mes “notes de cours”, elles devraient être à la disposition de toute personne ayant besoin de comprendre comment sonder les conditions différentielles ou ayant besoin d’une mise à jour sur les conditions différentielles.

J’ai essayé de rendre ces notes aussi indépendantes que l’on pouvait raisonnablement s’y attendre ; ainsi, toutes les données qui devraient les parcourir proviennent soit d’une classe de calcul ou d’algèbre, soit sont contenues dans différentes zones des notes.

Voici deux ou trois remontrances à mes doublures qui pourraient être ici pour obtenir une copie de ce qui s’est passé un jour que vous avez manqué.

Comme j’avais besoin de faire de cet arrangement un ensemble de notes vraiment complet pour toute personne ayant besoin d’apprendre les conditions différentielles, j’ai incorporé certains éléments que je n’ai pas, pour la plupart, l’occasion de couvrir en classe et, compte tenu du fait que cette progression de semestre en semestre n’est pas notée ici. Vous devriez découvrir un de vos collègues pour vérifier s’il y a quelque chose dans ces notes qui n’a pas été abordé en classe.

En général, j’essaie de travailler en classe sur des problèmes qui sont différents de mes notes. Quoi qu’il en soit, avec l’Equation Différentielle, un nombre important de problèmes sont difficiles à résoudre spontanément. Dans cette classe, mon travail en classe se rapprochera véritablement de ces notes, tout comme les problèmes travaillés. Tout bien considéré, je travaillerai de temps en temps sur des questions qui me viennent à l’esprit lorsque je pourrai donner un plus grand nombre de modèles que ceux qui figurent dans mes notes. De plus, il m’arrive souvent de ne pas avoir le temps de travailler en classe sur la majorité des sujets figurant dans les notes. Vous constaterez donc que quelques zones contiennent des sujets qui n’ont pas été travaillés en classe en raison de contraintes de temps.

Parfois, les questions posées en classe conduisent à des pistes qui ne sont pas abordées ici. J’essaie de prévoir le plus grand nombre possible de questions, comme on peut raisonnablement s’y attendre en les composant, mais en fait je ne peux pas envisager toutes les questions. Il arrive qu’une très bonne question soit posée en classe et qu’elle conduise à des idées que je n’ai pas incluses ici. Vous devriez toujours parler à quelqu’un qui était en classe le jour où vous avez manqué et comparer ces notes avec les leurs et voir quelles sont les différences.

Ce phénomène est, dans une certaine mesure, identifié aux trois choses précédentes, mais il est suffisamment important pour justifier sa propre chose. CES NOTES NE SE SUBSTITUENT PAS À LA PRÉSENCE EN CLASSE ! L’utilisation de ces notes comme substitut à la classe risque de vous mettre dans une situation difficile. Comme nous l’avons effectivement noté, tout ce qui figure dans ces notes n’est pas dissimulé en classe et, régulièrement, des éléments ou des connaissances qui ne figurent pas dans ces notes sont abordés en classe.

Voici une liste (et une brève description) des documents qui font partie de cette série de notes.

Concepts de base – Dans cette partie, nous présentons un grand nombre d’idées et de définitions essentielles qui sont expérimentées dans un cours commun sur les conditions différentielles. Nous examinerons également les champs de rubrique et la manière dont ils peuvent être utilisés pour décider d’une partie de la conduite des réponses pour les conditions différentielles.

Définitions – Dans ce domaine, une partie des définitions et des idées habituelles dans un cours sur les conditions différentielles sont présentées, y compris la demande, les conditions linéaires et non linéaires, les conditions de départ, la question de la valeur d’introduction et l’intervalle de légitimité.

Champs de direction – Dans ce segment, nous parlons des champs de direction et de la façon de les délimiter. Nous examinons en outre comment les champs de direction peuvent être utilisés pour décider de certaines données sur la réponse à une condition différentielle sans vraiment avoir l’arrangement.

Dernières réflexions – Dans ce domaine, nous donnons deux ou trois dernières réflexions sur ce que nous allons jeter un coup d’œil tout au long de ce cours.

Équations différentielles du premier ordre – Dans cette section, nous jetterons un coup d’œil à quelques-unes des techniques d’arrangement standard pour les conditions différentielles de première demande, notamment les conditions différentielles directes, distinctes, prudentes et de Bernoulli. Nous examinons également les interims de légitimité, les arrangements d’harmonie et la méthode d’Euler. De plus, nous modélisons certaines circonstances physiques avec des conditions différentielles de première demande.

Équations linéaires – Dans cette section, nous résolvons des équations différentielles linéaires du premier ordre, c’est-à-dire des équations différentielles sous la forme y′+p(t)y=g(t). Nous donnons un aperçu approfondi du processus utilisé pour résoudre ce type d’équation différentielle ainsi qu’une dérivation de la formule nécessaire pour le facteur d’intégration utilisé dans le processus de solution.

Équations séparables – Dans cette section, nous résolvons des équations différentielles séparables du premier ordre, c’est-à-dire des équations différentielles sous la forme N(y)y′=M(x)N(y)y′=M(x). Nous donnerons une dérivation du processus de résolution à ce type d’équation différentielle. Nous commencerons également à chercher l’intervalle de validité de la solution d’une équation différentielle.
Équations exactes – Dans cette section, nous discuterons de l’identification et de la résolution d’équations différentielles exactes. Nous développerons un test qui peut être utilisé pour identifier les équations différentielles exactes et donner une explication détaillée du processus de solution. Nous aborderons également quelques autres problèmes d’intervalle de validité.
Équations différentielles de Bernoulli – Dans cette section, nous résolvons des équations différentielles de Bernoulli, c’est-à-dire des équations différentielles sous la forme y′+p(t)y=yny′+p(t)y=yn. Cette section introduira également l’idée d’utiliser une substitution pour nous aider à résoudre les équations différentielles.
Substitution – Dans cette section, nous reprendrons là où la dernière section s’est arrêtée et nous examinerons quelques autres substitutions qui peuvent être utilisées pour résoudre certaines équations différentielles. Nous aborderons en particulier l’utilisation de solutions pour résoudre des équations différentielles de la forme y′=F(yx)y′=F(yx) et y′=G(ax+by)y′=G(ax+by).
Intervalles de validité – Dans cette section, nous examinerons en profondeur les intervalles de validité et répondrons à la question de l’existence et de l’unicité des équations différentielles du premier ordre.
Modélisation avec des équations différentielles du premier ordre – Dans cette section, nous utiliserons des équations différentielles du premier ordre pour modéliser des situations physiques. Nous examinerons en particulier les problèmes de mélange (modélisation de la quantité d’une substance dissoute dans un liquide et des entrées et sorties de liquide), les problèmes de population (modélisation d’une population dans diverses situations dans lesquelles la population peut entrer ou sortir) et les objets en chute (modélisation de la vitesse d’un objet en chute sous l’influence de la gravité et de la résistance de l’air).
Solutions d’équilibre – Dans cette section, nous définirons les solutions d’équilibre (ou points d’équilibre) pour les équations différentielles autonomes, y′=f(y)y′=f(y). Nous discutons de la classification des solutions d’équilibre en tant que solutions d’équilibre asymptotiquement stables, instables ou semi-stables.
La méthode d’Euler – Dans cette section, nous examinons brièvement une méthode assez simple d’approximation des solutions d’équations différentielles. Nous dérivons les formules utilisées par la méthode d’Euler et nous donnons une brève discussion sur les erreurs dans les approximations des solutions.