Comprendre les mathématiques du changement continu.

Le calcul est l’étude mathématique des choses qui changent : les voitures qui accélèrent, les planètes qui tournent autour du soleil, les économies qui fluctuent. Pour réfléchir à ces quantités évolutives, un autre agencement d’appareils – l’analyse – a été créé au XVIIe siècle, ajustant toujours le cours des mathématiques et des sciences.

L’expérience de l’analyse fonctionnelle dont tout chercheur, spécialiste ou mathématicien avide a besoin.

Des limites à l’infini

Parfois, nous n’arriverons pas à trouver une solution directe… mais nous verrons ce qu’il faut faire au fur et à mesure que nous nous rencontrerons et que nous nous rapprocherons !

Exemple :

(x2 – 1)(x – 1)

Calculons pour x=1 :

Maintenant, 0/0 peut être une difficulté ! Nous ne connaissons pas vraiment la valeur de 0/0 (c’est “indéterminé”), donc nous aimerions répondre différemment à cette question.

Donc, plutôt que d’essayer de le calculer pour x=1, essayons de l’approcher de plus en plus près :

Exemple Suite :

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Nous voyons maintenant que lorsque x est à la limite de 1, alors (x2-1)(x-1) est à la limite de 2

Nous sommes maintenant confrontés à une situation stimulante :

Lorsque x=1, nous ne connaissons pas la solution (elle est indéterminée)

Mais nous verrons qu’il est en train de devenir 2

Nous voulons proposer la solution “2” mais nous ne pouvons pas, alors les mathématiciens disent exactement ce qui se passe en utilisant le mot spécial “limite”.

La limite de (x2-1)(x-1) lorsque x se rapproche de 1 est de 2

Et c’est écrit en symboles comme :

limx→1 x2-1x-1 = 2

C’est donc une façon particulière de prétendre “ignorer ce qui se passe une fois que nous y sommes arrivés, mais au fur et à mesure que nous nous rapprochons, la solution se rapproche de plus en plus de 2”.

Sous forme de graphique, c’est comme ça :

Donc, en vérité, nous ne pouvons pas dire quelle est la valeur à x=1.

Mais nous dirons qu’à l’approche de 1, la limite est de 2.

C’est comme si l’on courait sur une colline et que l’on découvrait que le sentier n’est magiquement “pas là”…

… mais si nous ne vérifions qu’un côté, qui sait ce qui se passe ?

Nous aimerions donc vérifier dans les deux sens pour nous assurer de l’endroit où il “devrait être” !

Exemple Suite

Alors, essayons du côté opposé :

x (x2 – 1)(x – 1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

… …

Je me dirige aussi vers deux, donc c’est bon

Résumé rapide des limites

Parfois, nous n’arriverons pas à trouver une solution directe… mais nous verrons ce qu’il faut faire au fur et à mesure que nous nous rencontrerons et que nous nous rapprocherons !

Exemple :

(x2 – 1)(x – 1)

Calculons pour x=1 :

Maintenant, 0/0 peut être une difficulté ! Nous ne connaissons pas vraiment la valeur de 0/0 (c’est “indéterminé”), donc nous aimerions répondre différemment à cette question.

Donc, plutôt que d’essayer de le calculer pour x=1, essayons de l’approcher de plus en plus près :

Exemple Suite :

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Nous voyons maintenant que lorsque x est à la limite de 1, alors (x2-1)(x-1) est à la limite de 2

Nous sommes maintenant confrontés à une situation stimulante :

Lorsque x=1, nous ne connaissons pas la solution (elle est indéterminée)

Mais nous verrons qu’il est en train de devenir 2

Nous voulons proposer la solution “2” mais nous ne pouvons pas, alors les mathématiciens disent exactement ce qui se passe en utilisant le mot spécial “limite”.

La limite de (x2-1)(x-1) lorsque x se rapproche de 1 est de 2

Et c’est écrit en symboles comme :

limx→1 x2-1x-1 = 2

C’est donc une façon particulière de prétendre “ignorer ce qui se passe une fois que nous y sommes arrivés, mais au fur et à mesure que nous nous rapprochons, la solution se rapproche de plus en plus de 2”

Sous forme de graphique, c’est comme ça :

Donc, en vérité, nous ne pouvons pas dire quelle est la valeur à x=1.

Mais nous dirons qu’à l’approche de 1, la limite est de 2.