Les multiplicateurs de Lagrange, également appelés multiplicateurs lagrangiens (par ex, Arfken 1985, p. 945), peuvent être utilisés pour découvrir l’extrema d’une capacité multivariée f(x_1,x_2,…,x_n) soumise à l’impératif g(x_1,x_2,…,x_n)=0, où f et g sont des capacités avec des premiers subordonnés persistants à mi-chemin sur l’ensemble ouvert contenant le coude g(x_1,x_2,…,x_n)=0, et del g!=0 à tout moment sur le coude (où del est l’angle).

Pour qu’il y ait une extrémité de f sur g, l’angle de f doit correspondre à la pente de g. Dans la délimitation ci-dessus, f apparaît en rouge, g en bleu, et le point de croisement de f et g est indiqué en bleu clair. L’inclinaison est un vecteur plat (c’est-à-dire sans segment z) qui montre le cap que la capacité augmente ; pour g, elle est opposée au coude, qui est une ligne droite pour cette situation. Dans le cas où les deux pentes sont similaires, à ce point l’une est différente (- lambda) de l’autre, donc

del f=-lambdadel g.

Les deux vecteurs sont égaux, donc toutes leurs composantes le sont aussi, ce qui donne

(partialf)/(partialx_k)+lambda(partialg)/(partialx_k)=0

pour tous les k=1, …, n, où la constante lambda est appelée multiplicateur de Lagrange.

L’extrême est alors trouvé en résolvant les équations n+1 dans n+1 inconnues, ce qui se fait sans inverser g, ce qui explique pourquoi les multiplicateurs de Lagrange peuvent être si utiles.

Pour des contraintes multiples

_1=0, _2=0, …,

del f+lambda_1del g_1+lambda_2del g_2+...=0.