Nombres premiers

Que sont les nombres premiers ?

Un nombre premier n’a pas d’autre facteur que l’unité et lui-même. Ces nombres entiers sont supérieurs à un. Un facteur est un nombre entier que vous pouvez diviser par d’autres nombres de manière égale. La liste des nombres premiers comprend 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc. À partir de 1, il n’y a que 25 nombres premiers jusqu’à 100. Lorsqu’un nombre entier comporte plus de facteurs que deux, on peut les appeler des nombres composites. Nous ne considérerons pas un comme un nombre composite ou un nombre premier. En d’autres termes, vous ne pouvez diviser un nombre premier qu’avec un et lui-même sans le reste. Par exemple, vous ne pouvez diviser que 17 par un et par 17.

Quelques faits importants sur les nombres premiers

• 2 est le seul nombre premier pair. Vous pouvez diviser tous les autres nombres pairs par 2
• Vous pouvez diviser un nombre par 3 si la somme d’un nombre est un multiple de 3
• Il n’y a pas de nombre premier supérieur à 5 et dont le dernier chiffre n’est pas 5 – Vous pouvez diviser n’importe quel nombre avec 5 qui se termine par 5
• Vous ne pouvez pas considérer zéro et un comme un nombre premier
• Chaque nombre est un nombre composite ou un nombre premier, à l’exclusion de zéro et de un : Cela signifie que tout nombre qui n’est pas un nombre composite est un nombre premier et vice versa
  Si vous voulez prouver qu’un nombre est un nombre premier, vous devez le diviser par 2. Donc si le résultat est un nombre entier, ce n’est pas un nombre premier. Alors que si le nombre n’est pas un nombre entier, vous pouvez le diviser par d’autres nombres premiers tels que 3, 5, 7, 11, etc.

Déterminer si le nombre est un nombre premier

Vous pouvez utiliser un ordinateur pour déterminer si un grand nombre est un nombre premier ou non. Comme il n’y a pas de limite à la taille d’un nombre, prouver qu’un grand nombre est un nombre premier est une tâche ardue. Même si vous utilisez un superordinateur, les limites sont infinies. Par exemple, le plus grand nombre dont nous savons qu’il est un nombre premier, à ce jour, compte 24 862 048 chiffres.
Les experts essaient de formuler différents algorithmes pour trouver un moyen de trouver même les plus grands nombres premiers. Par exemple, considérez “n” comme le nombre entier, mais nous ne savons pas s’il s’agit d’un nombre composite ou d’un nombre premier. Pour déterminer s’il s’agit d’un nombre premier, nous prendrons ½ comme puissance de “n” ou nous prendrons sa racine carrée. Maintenant, vous pouvez arrondir ce nombre au nombre supérieur suivant et le désigner par “m”. On peut trouver ces quotients :
qm = n / m
q(m-1) = n / (m-1)
q(m-2) = n / (m-2)
q(m-3) = n / (m-3) . .
q3 = n / 3
q2 = n / 2
On en conclut que “n” est un nombre premier si q est la dérivation ci-dessus.

Primes de Mersenne et de Fermat

Un nombre premier de Mersenne est un nombre que l’on peut réduire à 2 n – 1. Sous cette forme, le “n” est un nombre premier. Voici quelques-unes des premières valeurs “n” connues qui peuvent produire des nombres premiers de Mersenne :
n = 2, n = 3, n = 5, n = 7, n = 13, n = 17, n = 19, n = 31, n = 61 et n = 89
Alors qu’un nombre premier de Fermat est un nombre premier et un nombre de Fermat. La forme du nombre de Fermat Fn est 2m + 1. Sous cette forme, m est la puissance de 2, ce qui signifie que m = 2n. De plus, le n sous cette forme est un nombre entier.

Nombres premiers et cryptographie

Le cryptage comprendra toujours la règle fondamentale. Il comprendra :

• L’algorithme
• La procédure proprement dite
  Ces deux éléments n’ont aucun secret, mais la clé en a un. Vous pouvez utiliser les nombres premiers pour créer différentes clés. Par exemple, la raison pour laquelle le cryptage par clé publique/privée est essentiel est que vous pouvez facilement calculer des produits en choisissant deux nombres premiers aléatoires. Cependant, il vous sera difficile et long de trouver les deux nombres premiers différents et de créer un produit plus grand. La raison pour laquelle cela peut être difficile est que vous ne connaissez que le produit.
  Vous pouvez prendre un exemple populaire de cryptographie à clé publique dans Rivest-Shamir-Adleman ou RSA. Cet ouvrage affirme que les nombres premiers sont toujours uniques. De nombreuses applications utilisent les nombres premiers selon la norme de signature numérique (DSS) et les Diffie-Hellmen.

258000 est-il un nombre premier

Non, 258000 n’est pas un nombre premier, mais c’est un nombre composite. Vous pouvez écrire 258000 comme le produit des facteurs premiers. Voici les facteurs premiers :
258000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 x 5 x 43
Si vous convertissez cela en notation exponentielle, vous l’écrirez comme :
258000 = 24 × 3 × 53 × 43

Conclusion

De nombreuses questions historiques sur les nombres premiers restent à résoudre. Par exemple, la conjecture de Goldbach signifie que l’on peut exprimer chaque nombre pair supérieur à 2 comme la somme de deux nombres premiers. De plus, elle dit que vous pouvez faire des paires infinies de nombres premiers, en ajoutant un nombre pair entre les deux. Ce type de questions encourage les mathématiciens à progresser dans le domaine de la théorie des nombres. Vous pouvez utiliser les nombres premiers pour diverses tâches informatiques.