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Nous avons plusieurs résultats étroitement liés qui sont diversement connus sous le nom de théorème binomial selon la source. Plus déroutant est le fait que certains de ces résultats (et d’autres) étroitement liés sont connus sous le nom de formule binomiale, d’expansion binomiale et d’identité binomiale, l’identité elle-même étant parfois simplement appelée “série binomiale” plutôt que “théorème binomial”.

Un cas plus général du théorème binomial est l’identité de la série binomiale

 (x+a)^nu=sum_(k=0)^infty(nu; k)x^ka^(nu-k),

où (nu ; k) est un coefficient binomial et nu est un nombre réel. Cette série converge pour nu>=0 un nombre entier, ou |x/a|<1. La forme générale est celle de Graham et al. (1994, p. 162). Arfken (1985, p. 307) appelle le cas particulier de cette formule avec a=1 le théorème du binôme.

Lorsque nu est un entier positif n, il se termine par n=nu et peut s’écrire sous la forme

 (x+a)^n=sum_(k=0)^n(n; k)x^ka^(n-k).

Cette forme d’identité est appelée le théorème du binôme par Abramowitz et Stegun (1972, p. 10).

Les différentes terminologies sont résumées dans le tableau suivant.

“Source du “théorème du binôme

Graham et al. (1994, p. 162)

Arfken (1985, p. 307)

Abramowitz et Stegun (1972, p. 10)

“théorème du binôme “source

Abramowitz et Stegun (1972, p. 10)

Ce théorème binomial était connu pour le cas n=2 d’Euclide vers 300 avant J.-C., et déclaré sous sa forme moderne par Pascal dans un pamphlet posthume publié en 1665. Le pamphlet de Pascal, ainsi que la correspondance sur le sujet avec Fermat depuis 1654 (et publiée en 1679) est la base de la dénomination du triangle arithmétique en son honneur.

La formule a également été montrée par Newton (1676) pour les entiers négatifs -n,

 (x+a)^(-n)=sum_(k=0)^infty(-n; k)x^ka^(-n-k),

qui est la série binomiale dite négative et converge pour |x|<a.

En fait, la généralisation

 (1+z)^a=sum_(k=0)^infty(a; k)z^k

s’applique à tous les complexes z avec |z|<1.

Parmi ses nombreux autres talents, on peut citer le major général Stanley dans l’opérette de Gilbert et Sullivan “Les pirates de Penzance” qui impressionne les pirates par sa connaissance du théorème du binôme dans “Le chant du major général” comme suit : “J’ai des informations sur les plantes, les animaux et les minéraux, je comprends les rois d’Angleterre, et je cite les batailles historiques, de Marathon à Waterloo, dans l’ordre catégorique ; je connais aussi très bien les questions mathématiques, je comprends les équations, simples et carrées, concernant le théorème du binôme qui regorgent de nouvelles, avec de nombreux faits réjouissants sur le carré de l’hypoténuse”.