Si une matrice A a une matrice de radars non inversibles P (par exemple, la matrice [1 1 1 ; 0 1] a le système de radars non inversibles [1 0 ; 0 0]), alors A n’a pas de décomposition de radars. Cependant, si A est une matrice réelle m×n avec m>n, alors A peut être écrit en utilisant une valeur de décomposition dite singulière de la forme

A=UDV^(T).

(1)

Il convient de noter qu’un certain nombre de conventions notionnelles contrastées sont utilisées dans la littérature. Press et al. (1992) définissent U comme la matrice m×n, D comme n×n et V comme n×n. Cependant, le langage Wolfram définit U comme m×m, D comme m×n et V comme n×n. Dans les deux systèmes, U et V ont des colonnes orthogonales de sorte que

U^(T)U=I

(2)

e

V^(T)V=I

(3)

(où les deux matrices d’identité peuvent avoir des tailles différentes), et D ne comporte des entrées que le long de la diagonale.

Pour une matrice complexe A, la décomposition de la valeur singulière est une décomposition sous la forme

A=UDV^(H),

(4)

où U et V sont des matrices unitaires, V^(H) est la transposition conjuguée de V, et D est une matrice diagonale dont les éléments sont les valeurs singulières de la matrice originale. Si A est une matrice complexe, alors il y a toujours une telle décomposition avec des valeurs singulières positives (Golub et Van Loan 1996, p. 70 et 73).

La décomposition des valeurs singulières est implémentée dans le langage Wolfram sous le nom de SingularValueDecomposition [m], qui renvoie une liste {U, D, V}, où U et V sont des matrices et D est une matrice diagonale composée par les valeurs singulières de m.