Le produit C de deux matrices A et B est défini comme

 c_(ik)=a_(ij)b_(jk),

ici j est ajouté pour chaque estimation concevable de I et k et la documentation ci-dessus utilise la sommation d’Einstein. La sommation déduite sur des enregistrements répétés sans la proximité d’un signe agrégé non équivoque est appelée sommation d’Einstein et est généralement utilisée dans l’examen des réseaux et des tenseurs. En conséquence, pour que la duplication de la grille soit caractérisée, les composantes des réseaux doivent remplir

où (a X b) désigne une matrice avec des lignes et des colonnes. Rédaction explicite du produit,

La multiplication matricielle est associative, comme on peut le constater en prenant

où la sommation d’Einstein est à nouveau utilisée. Maintenant, puisque , , et sont scalaires se l’associativité de la multiplication scalaire pour écrire

Puisque cela est vrai pour tous et , il doit être vrai que

sans équivoque. En raison de l’associativité, les cadres structurent un semigroupe en double.

C’est-à-dire que la multiplication matricielle est associative. L’équation (13) peut donc s’écrire

sans ambiguïté. En raison de l’associativité, les matrices forment un semigroupe lors de la multiplication.

L’augmentation de la matrice est également distributive. Si par hasard An et B sont des grilles m×n et C et D des réseaux n×p, à ce stade

Comme les treillis n×n structurent un bouquet abelien en expansion, les cadres n×n structurent un anneau.

Quoi qu’il en soit, l’augmentation du treillis n’est pas, dans l’ensemble, commutative (bien qu’elle le soit si An et B sont coin à coin et d’une mesure similaire).

Le résultat de deux treillis carrés est donné en augmentant chaque carré