In geometria, la collineaarità di un insieme di punti è la proprietà della loro collocazione su una singola retta[1]. Un insieme di punti con questa proprietà è detto essere collineare (a volte scritto collineare[2]). In generale, il termine è stato usato per indicare gli oggetti allineati, cioè le cose che si trovano “in una retta” o “in una fila”.

Punti su una linea

In qualsiasi geometria, l’insieme dei punti su una linea è detto essere collineari. Nella geometria euclidea, questo collegamento è naturalmente rappresentato da fuochi distesi in successione su una “retta”. Sia come sia, in molte geometrie (contando quella euclidea) una retta è comunemente un tipo di oggetto grezzo (indistinto), per cui tali rappresentazioni non saranno veramente adatte. Un modello per la geometria offre un’interpretazione di come i punti, le linee e altri tipi di oggetti si identificano tra loro e un’idea, per esempio, la collinearità deve essere decifrata all’interno dell’impostazione di quel modello. Ad esempio, nella geometria circolare, in cui le linee sono parlate nel modello standard da incredibili cerchi di un cerchio, le serie di punti di riferimento collineari si trovano su un cerchio straordinario simile. Tali focolai non si trovano su una “linea retta” in senso euclideo e non sono pensati come se fossero in successione.

Una mappatura di una geometria a se stessa che invia linee a linee è nota come collineazione; essa gelifica la proprietà di collinearità. Le mappe rettilinee (o elementi diretti) di spazi vettoriali, viste come mappe geometriche, mappano linee a linee; cioè, mappano gli insiemi di guida collineari verso gli insiemi di punti collineari come, sono collineazioni. Nella geometria proiettiva queste mappature dirette sono chiamate omografie e sono solo un tipo di collineazione.

Esempi di geometria euclidea

Triangoli

In qualsiasi triangolo le seguenti serie di punti sono collineari:

L’ortocentro, il circocentro, il centroide, il punto di Exeter, il punto de Longchamps e il centro del cerchio di nove punti sono collineari, tutti cadenti su una linea chiamata linea di Eulero.

Il punto de Longchamps ha anche altre colline.

Qualsiasi vertice, la tangenza del lato opposto con un escirco, e il punto di Nagel sono collineari in una linea chiamata splitter del triangolo.

Il punto medio di qualsiasi lato, il punto che è equidistante da esso lungo il confine del triangolo in entrambe le direzioni (quindi questi due punti bisetttano il perimetro), e il centro del cerchio di Spieker sono collineari in una linea chiamata mannaia del triangolo. (Il cerchio di Spieker è l’anello del triangolo mediale, e il suo centro è il centro di massa del perimetro del triangolo).

Qualsiasi vertice, la tangenza del lato opposto con l’incirca e la punta di Gergonne sono collineari.

Da qualsiasi punto della circonferenza di un triangolo, i punti più vicini su ciascuno dei tre lati estesi del triangolo sono collineari nella linea Simson del punto della circonferenza.

Le linee che collegano i piedi delle altitudini intersecano i lati opposti in punti collinari[3]:p.199

L’incentro di un triangolo, il punto medio di un’altitudine e il punto di contatto del lato corrispondente con l’escirco rispetto a quel lato sono collineari[4]:p.120,#78

Il teorema di Menelao afferma che tre punti {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}}}P_{1},P_{2},P_{2},P_{3} sui lati (alcuni estesi) di un triangolo di vertici opposti {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}}A_{1},A_{2},A_{2},A_{3} sono collineari se e solo se i seguenti prodotti di lunghezza dei segmenti sono uguali:[3]:p. 147

{\fscx130\fscy130\frx40}P_{1}A_{2}\fscx130\fscy130\frx40}A_{3}A_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\fscx130\fscy130\frx40}P_{1}A_{1}A_{1}\fscx130\fscy130\frx40}P_{1}A_{2}A_{2}\fscx130\fscy130\frx40}P_{1}A_{2}A_{2}A_{2}\fscx130\fscy130\frx40}A_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\fscx130\fscy130\frx40}A_{1.

L’inceneritore, il centroide e il centro del cerchio di Spieker sono collineari.

Il circocentro, la punta centrale di Brocard e la punta Lemoine di un triangolo sono collineari[5].

Due linee perpendicolari che si intersecano all’ortocentro di un triangolo intersecano ciascuna dei lati estesi del triangolo. I punti medi sui tre lati di questi punti di intersezione sono collineari nella linea Droz-Farny.

Quadrilateri

In un quadrilatero convesso ABCD i cui lati opposti si intersecano in E e F, i punti medi di AC, BD ed EF sono collineari e la linea che li attraversa è chiamata linea di Newton (talvolta nota come linea Newton-Gauss [citazione necessaria]). Se il quadrilatero è un quadrilatero tangenziale, allora anche il suo incentro si trova su questa linea.[6]

In un quadrilatero convesso, il quasi ortocentro H, l'”area centroide” G, e il quasicircumcenter O sono collineari in quest’ordine, e HG = 2GO.[7] (Vedi Quadrilatero#Punti e linee di riferimento in un quadrilatero convesso).

Altre collinearità di un quadrilatero tangenziale sono date in punti tangenziali#Collineare.

In un quadrilatero ciclico, il circocentro, il vertice centroide (l’intersezione dei due bimediani) e l’anticentro sono collineari[8].

In un quadrilatero ciclico, il centroide dell’area, il centroide del vertice e l’intersezione delle diagonali sono collineari[9].

In un trapezio tangenziale, le tangenze dell’incirca con le due basi sono collineari con l’incentro.

In un trapezio tangenziale, i punti medi delle gambe sono collinari con l’incentro.

Esagoni

Il teorema di Pascal (noto anche come Teorema dell’Esagramma Mistico) afferma che se su una sezione conica (cioè ellisse, parabola o iperbole) vengono scelti sei punti arbitrari e uniti da segmenti di linea in qualsiasi ordine per formare un esagono, allora le tre coppie di lati opposti dell’esagono (estesi se necessario) si incontrano in tre punti che giacciono su una linea retta, chiamata linea di Pascal dell’esagono. Anche il contrario è vero: il teorema di Braikenridge-Maclaurin afferma che se i tre punti di intersezione delle tre coppie di linee attraverso i lati opposti di un esagono giacciono su una linea, allora i sei vertici dell’esagono giacciono su una conica, che può essere degenerata come nel teorema di Pappus dell’esagono.

Sezioni coniche

Secondo il teorema di Monge, per ogni tre cerchi in un piano, nessuno dei quali è completamente all’interno di uno degli altri, i tre punti di intersezione delle tre coppie di linee, ognuna delle quali esternamente tangente a due dei cerchi, sono collineari.

In un’ellisse, il centro, i due foci e i due vertici con il raggio di curvatura più piccolo sono collineari, e il centro e i due vertici con il raggio di curvatura più grande sono collineari.

In un’iperbole, il centro, i due foci e i due vertici sono collineari.

Coni

Il centro di massa di un solido conico di densità uniforme si trova a un quarto del percorso dal centro della base al vertice, sulla linea retta che unisce i due.

Tetraedri

Il centroide di un tetraedro è il punto medio tra il punto Monge e il circocentro. Questi punti definiscono la retta di Eulero del tetraedro che è analoga alla retta di Eulero di un triangolo. Anche il centro della sfera a dodici punti del tetraedro si trova sulla retta di Eulero.