La congettura originale di Goldbach (talvolta chiamata la congettura “ternaria” di Goldbach), scritta in una lettera del 7 giugno 1742 a Eulero, afferma “almeno sembra che ogni numero superiore a 2 sia la somma di tre primi” (Goldbach 1742; Dickson 2005, p. 421). Si noti che Goldbach riteneva che il numero 1 fosse un numero primo, uno spettacolo che non viene più perseguito. Come ri-comunicato da Eulero, un tipo uguale di questa supposizione (chiamata la supposizione “solida” o “doppia” di Goldbach) afferma che tutti i numeri pari positivi >=4 possono essere comunicati come l’insieme dei due primi. Due numeri primi (p,q) con l’obiettivo finale che p+q=2n per n un numero intero positivo sono chiamati di tanto in tanto segmento di Goldbach (Oliveira e Silva).

Come indicato da Hardy (1999, p. 19), “È quasi semplice fare supposizioni intelligenti; senza dubbio, ci sono ipotesi, simili al ‘Teorema di Goldbach’, che non sono mai state dimostrate e che qualsiasi trucco avrebbe potuto ipotizzare”. Faber e Faber hanno offerto un premio di 100000000 dollari a chiunque abbia dimostrato l’ipotesi di Goldbach tra il 20 marzo 2000 e il 20 marzo 2002, ma il premio non è stato ritirato e l’ipotesi rimane aperta.

Schnirelman (1939) dimostrò che ogni numero significativo può essere composto come la totalità di non più di 300000 primati (Dunham 1990), che sembra essere abbastanza lontano da una prova per due primati! Pogorzelski (1977) ha dichiarato di aver dimostrato l’ipotesi di Goldbach, tuttavia la sua verifica non è comunemente riconosciuta (Shanks 1985). La tabella che lo accompagna limita n con l’obiettivo finale che la solida supposizione di Goldbach si è dimostrata valida per i numeri <n.

riferimento vincolato

1×10^4 Desboves 1885

1×10^5 Pipping 1938

1×10^8 Stein e Stein 1965ab

2×10^(10) Granville et al. 1989

4×10^(11) Sinisalo 1993

1×10^(14) Deshouillers et al. 1998

4×10^(14) Richstein 1999, 2001

2×10^(16) Oliveira e Silva (24 marzo 2003)

6×10^(16) Oliveira e Silva (3 ottobre 2003)

2×10^(17) Oliveira e Silva (5 febbraio 2005)

3×10^(17) Oliveira e Silva (30 dicembre 2005)

12×10^(17) Oliveira e Silva (14 luglio 2008)

4×10^(18) Oliveira e Silva (Aprile 2012)

La congettura che tutti i numeri dispari >=9 siano l’aggregato di tre primi dispari è nota come la “debole” ipotesi di Goldbach. Vinogradov (1937ab, 1954) ha dimostrato che ogni numero dispari adeguatamente enorme è l’aggregato di tre numeri dispari (Nagell 1951, p. 66; Guy 1994), ed Estermann (1938) ha dimostrato che praticamente tutti i numeri pari sono il totale di due numeri primi. L’unico “adeguatamente enorme” N>=3^(3^(15)) circa e^(e^(16.573)) circa 3,25×10^(6846168) di Vinogradov è stato quindi ridotto a e^(e^(11.503)) circa 3,33×10^(43000) da Chen e Wang (1989). Chen (1973, 1978) ha anche dimostrato che tutti i numeri pari adeguatamente enormi sono l’insieme di un primo e il risultato di tutte le cose considerate due primi (Guy 1994, Courant e Robbins 1996). Più di due secoli dopo che la prima ipotesi è stata espressa, la fragile ipotesi di Goldbach è stata dimostrata da Helfgott (2013, 2014).

Una variante più fondata dell’ipotesi fragile, in particolare, che ogni numero dispari >=7 può essere comunicata come il totale di un primo oltre al doppio di un primo è nota come l’ipotesi di Levy.

Una spiegazione uguale dell’ipotesi di Goldbach è che per ogni numero intero positivo m, ci sono i numeri primi p e q con l’obiettivo finale che

 R(n)∼2Pi_2product_(k=2; p_k|n)(p_k-1)/(p_k-2)int_2^n(dx)/((lnx)^2),

dove Pi_2 è la costante gemella dei primati (Halberstam e Richert 1974).