I veri bayesiani considerano davvero le probabilità restrittive come più essenziali delle probabilità congiunte. È tutt’altro che difficile caratterizzare P(A|B) senza fare riferimento alla probabilità congiunta P(A,B). Per vedere questa nota possiamo rivedere la ricetta delle probabilità restrittive da ottenere:

P(A|B) P(B) = P(A,B)

Sia come sia, per uniformità possiamo ottenere anche noi:

P(B|A) P(A) = P(A,B)

Lo persegue:

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che è la presunta Regola di Bayes.

Ci si aspetta di considerare la regola di Bayes per quanto riguarda la nostra convinzione di rinfrescare la nostra convinzione su una speculazione An alla luce della nuova prova B. In particolare, la nostra convinzione posteriore P(A|B) è determinata duplicando la nostra precedente convinzione P(A) con la probabilità P(B|A) che B accadrà se An è valido.

L’intensità dello standard di Bayes è che la maggior parte del tempo in cui abbiamo bisogno di capire che le cose P(A|B) sono quello che sono, è difficile farlo legittimamente, eppure possiamo avere dati diretti su P(B|A). Lo standard di Bayes ci permette di registrare P(A|B) per quanto riguarda P(B|A).

Per esempio, supponiamo di essere desiderosi di diagnosticare la malattia nei pazienti che visitano un centro toracico.

Dare la possibilità di parlare all’occasione “L’individuo ha una crescita maligna”.

Date a B la possibilità di parlare all’occasione “L’individuo è un fumatore”.

Conosciamo la probabilità che la precedente occasione P(A)=0,1 sulla base di informazioni passate (il 10% dei pazienti che entrano nel centro finiscono per avere una crescita maligna). Dobbiamo registrare la probabilità dell’occasione posteriore P(A|B). È difficile individuare questo dato in modo legittimo. Comunque sia, probabilmente conosceremo P(B) considerando il livello di pazienti che fumano – supponiamo P(B)=0,5. Siamo anche suscettibili di conoscere P(B|A) controllando dal nostro archivio l’entità dei fumatori tra quelli analizzati. Assumere P(B|A)=0,8.

Ora saremmo in grado di utilizzare lo standard di Bayes per la registrazione:

P(A|B) = (0,8 ‘ 0,1)/0,5 = 0,16

Di conseguenza, alla luce della prova che l’individuo è un fumatore, cambiamo la nostra precedente probabilità da 0,1 a 0,16. Questo è un incremento di importanza, ma è ancora inverosimile che l’individuo sia maligno.

Il denominatore P(B) nella condizione è una costante normalizzante che può essere registrata, ad esempio, mediante la minimizzazione per cui

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D’ora in poi possiamo affermare che Bayes governa in un altro modo come:

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