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Definizione, formula ed esempi

Due figure geometriche appaiono simili se i loro angoli corrispondenti sono uguali e i loro lati corrispondenti sono proporzionali. Un rapporto è una frazione che confronta due quantità. Questa immagine mostra due figure simili con 4 lati.

Le figure blu e rosse sono simili.

Le figure blu e rosse sono simili

La figura blu in questa immagine è simile alla figura rossa. Ogni lato della figura rossa è grande il doppio del lato corrispondente della figura blu.

In due figure geometriche simili, il rapporto dei loro lati corrispondenti è chiamato fattore di scala. Per trovare il fattore di scala, identificare due lati corrispondenti, uno su ogni figura. Scrivete il rapporto di una lunghezza all’altra per trovare il fattore di scala da una figura all’altra. In questo esempio, il fattore di scala da blu a rosso è 1,6 : 3,2, o 1 : 2. Ciò significa che per una unità di lunghezza sulla figura blu, ci sono due unità di lunghezza sulla figura rossa. Il fattore di scala dalla figura rossa alla figura blu è 3,2 : 1,6, o 2 : 1.

Blue and Red Similar Figures

Utilizzando il fattore di scala

Se due figure sono simili, allora si possono mettere in relazione caratteristiche diverse della figura utilizzando il fattore di scala. Per esempio, si pensi a due quadrati che sono simili. Uno ha una lunghezza laterale di 2 pollici e l’altro ha una lunghezza laterale di 4 pollici. Questo dà un fattore di scala di 1 : 2 dal quadrato piccolo al quadrato grande.

Similar Squares

Questi due quadrati simili hanno un fattore di scala di 1 : 2 dal quadrato piccolo al quadrato grande.

Quadrati simili

Per ottenere la lunghezza del lato di un quadrato data la lunghezza del lato dell’altro, si può moltiplicare o dividere per il fattore di scala. Vediamo questo con i quadrati mostrati sopra.

Supponiamo che vi venga detto che il quadrato più piccolo ha una lunghezza del lato di 2 pollici e che il fattore di scala dal più piccolo al più grande sia 1 : 2. Ricordate, questo significa che 1 pollice sul quadrato più piccolo è di 2 pollici sul quadrato più grande. Se moltiplichiamo per il fattore di scala, 1/2, otterremo un numero più piccolo. Poi dobbiamo ‘dividere’ per il fattore di scala per ottenere un numero più grande. Per ottenere il perimetro di un quadrato dato il perimetro dell’altro, possiamo moltiplicare o dividere per il fattore di scala. Il quadrato più piccolo ha un perimetro di 8 pollici. Vogliamo trovare il perimetro del quadrato più grande. Ancora una volta dovremo dividere per il fattore di scala di 1 : 2.

perimeter calculation

Il quadrato più grande avrà un perimetro di 16 pollici. Ha senso? Chiedetevi: passo da una figura più piccola a una più grande, o da una più grande a una più piccola? In questo caso, siamo passati da una figura più piccola a una più grande, quindi ci aspettiamo che la nostra risposta sia più grande del perimetro originale.

Per ottenere l’area di un quadrato data l’area dell’altro, si può moltiplicare o dividere per il quadrato del fattore di scala. Nel nostro esempio, il quadrato più piccolo ha un’area di 4 pollici quadrati. Proprio come abbiamo diviso per il fattore di scala per determinare il perimetro del quadrato più grande, ora divideremo per il quadrato del fattore di scala.

area calculation

Per ottenere il volume di un cubo dato il volume dell’altro, si può moltiplicare o dividere per il cubo del fattore di scala. Per decidere se moltiplicare o dividere, bisogna considerare il valore del fattore di scala e se si passa da una cifra più grande a una più piccola, o da una più piccola a una più grande.

Immaginate che al posto dei quadrati abbiamo due cubi, come dei grandi dadi. Il cubo più piccolo ha una lunghezza laterale di 2 pollici, e l’altro ha una lunghezza laterale di 6 pollici. Il volume del primo cubo è di 8 pollici cubi, e il fattore di scala dal cubo più grande al più piccolo è 3 : 1. Per trovare il volume del cubo più grande, moltiplichiamo il cubo per il fattore di scala (noto come il nostro fattore di scala è più grande di uno; sappiamo che vogliamo una risposta più grande, quindi moltiplichiamo piuttosto che dividere).

volume calculation

Il volume del secondo cubo è quindi di 216 pollici cubici. Se controlliamo il nostro lavoro, possiamo vederlo:

volume check calculation

Possiamo usare questi esempi per trovare la lunghezza del lato, il perimetro, l’area e il volume per qualsiasi coppia di figure simili. Questo rende la conoscenza del fattore di scala incredibilmente utile.