Quando si lancia una moneta, ci sono due possibili risultati: testa e croce. Ogni risultato ha una probabilità fissa, la stessa di prova in prova. Nel caso delle monete, testa e croce hanno la stessa probabilità di 1/2. Più in generale, ci sono situazioni in cui la moneta è di parte, in modo che testa e croce hanno probabilità diverse. In questa sezione, consideriamo le distribuzioni di probabilità per le quali ci sono solo due possibili esiti con probabilità fisse aggiunte ad una. Queste distribuzioni sono chiamate distribuzioni binomiali.

Un semplice esempio

I quattro possibili risultati che potrebbero verificarsi se si lancia una moneta due volte sono elencati nella Tabella 1. Si noti che i quattro risultati sono ugualmente probabili: ognuno ha una probabilità di 1/4. Per vedere questo, si noti che i lanci di monete sono indipendenti (nessuno dei due ha effetto sull’altro). Quindi, la probabilità di una testa sul lancio 1 e una testa sul lancio 2 è il prodotto di P(H) e P(H), che è 1/2 x 1/2 = 1/4. Questo calcolo si applica alla probabilità di una testa sul capovolgimento 1 e una coda sul capovolgimento 2. Ciascuno è 1/2 x 1/2 = 1/4.

Tabella 1. Quattro possibili risultati.

Risultati.

OutcomeFirst FlipSecond Flip
1HeadsHeads
2HeadsTails
3TailsHeads
4TailsTails

Risultato Primo capovolgimento Primo capovolgimento Secondo capovolgimento
1 Teste Teste
2 Teste Coda
3 Teste di coda
4 Code Code

Primo capovolgimento Primo capovolgimento Primo capovolgimento Secondo capovolgimento Risultato

1 Teste Teste

2 Teste di coda

3 Teste di coda

4 code

I quattro possibili risultati possono essere classificati in termini di numero di teste che emergono. Il numero può essere due (Risultato 1), uno (Risultati 2 e 3) o 0 (Risultato 4). Le probabilità di queste possibilità sono mostrate nella Tabella 2 e nella Figura 1. Poiché due dei risultati rappresentano il caso in cui nei due lanci appare una sola testa, la probabilità di questo evento è di 1/4 + 1/4 = 1/2. La Tabella 2 riassume la situazione.

Tabella 2. Probabilità di ottenere 0, 1 o 2 teste.

Ottenere 0, 1 o 2 teste.

Number of HeadsProbability
01/4
11/2
21/4

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial1.jpg

Probabilità del numero di teste
0 1/4
1 1/2
2 1/4

Probabilità del numero di teste

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Figura 1. Probabilità di 0, 1 e 2 teste.

La figura 1 mostra una distribuzione di probabilità discreta: mostra la probabilità per ciascuno dei valori sull’asse delle X. Definendo una testa come “successo”, la Figura 1 mostra la probabilità di 0, 1, e 2 successi per due test (flips) per un evento che ha una probabilità di 0,5 di essere un successo su ogni test. Facendo della Figura 1 un esempio di distribuzione binomiale.

La formula delle probabilità binomiali

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial_formula.gif

La distribuzione binomiale consiste nella probabilità di ciascuno dei possibili numeri di successo su N test per eventi indipendenti che hanno ciascuno una probabilità di accadimento π (la lettera greca pi). Per l’esempio del lancio della moneta, N = 2 e π = 0,5. La formula per la distribuzione binomiale è riportata di seguito:

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial2.gif

dove P(x) è la probabilità di x successi di N prove, N è il numero di prove, e π è la probabilità di successo di una data prova. Applicando questo all’esempio del lancio della moneta,

Se si lancia una moneta due volte, qual è la probabilità di ottenere una o più teste? Poiché la probabilità di ottenere esattamente una testa è di 0,50 e la probabilità di ottenere esattamente due teste è di 0,25, la probabilità di ottenere una o più teste è di 0,50 + 0,25 = 0,75.

Ora supponiamo che la moneta sia di parte. La probabilità di teste è di soli 0,4. Qual è la probabilità di ottenere teste almeno una volta su due lanci? Sostituendo la formula generale di cui sopra, si dovrebbe ottenere la risposta .64.

Probabilità cumulative

Lanciamo una moneta 12 volte. Qual è la probabilità di ottenere da 0 a 3 teste? La risposta si trova calcolando la probabilità di ottenere esattamente 0 teste, esattamente 1 testa, esattamente 2 teste e esattamente 3 teste. La probabilità di ottenere da 0 a 3 teste è quindi la somma di queste probabilità. Le probabilità sono: 0,0002, 0,0029, 0,0161 e 0,0537. La somma delle probabilità è 0,073. Il calcolo delle probabilità binomiali cumulative può essere piuttosto noioso. Per questo motivo abbiamo fornito una calcolatrice binomiale per facilitare il calcolo di queste probabilità.

Deviazione media e standard delle distribuzioni binomiali

Consideriamo un esperimento di lancio della moneta in cui si lancia una moneta 12 volte e si registra il numero di teste. Se si esegue questo esperimento più e più volte, quale sarebbe il numero medio di teste? In media, ci si aspetterebbe che la metà dei lanci di una moneta si presenti con delle teste. Quindi il numero medio di teste sarebbe di 6. In generale, la media di una distribuzione binomiale con i parametri N (il numero di test) e π (la probabilità di successo di ogni test) è la media:

μ = Nπ

dove μ è la media della distribuzione binomiale. La varianza della distribuzione binomiale è:

σ2 = Nπ(1-π)

dove σ2 è la varianza della distribuzione binomiale.

Torniamo all’esperimento del lancio della moneta. La moneta è stata lanciata 12 volte, quindi N = 12. Una moneta ha 0,5 possibilità di venire a patti. Quindi, π = 0,5. La media e la varianza possono quindi essere calcolate come segue:

μ = Nπ = (12)(0.5) = 6

σ2 = Nπ(1-π) = (12)(0.5)(1.0 – 0.5) = 3.0.

Naturalmente, la deviazione standard (σ) è la radice quadrata della varianza (σ2).