Una permutazione, detta anche “numero di disposizione” o “ordine”, può essere un riordinamento del tempo di una lista S ordinata in una corrispondenza one-to-one con S stessa. La quantità di permutazioni su un gruppo di n elementi è data da n! (n fattoriale; Uspensky 1937, p. 18). per esempio, ci sono 2!=2-1=2 permutazioni di {1,2}, cioè {1,2} e {2,1}, e 3!=3-2-1=6 permutazioni di {1,2,3}, cioè {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, e {3,2,1}, e {3,2,1}. Le permutazioni di un inventario si trovano spesso all’interno del linguaggio Wolfram usando il comando Permutations[list]. un inventario di lunghezza n viene spesso testato per accertare se si tratta di una permutazione di 1, …, n all’interno del linguaggio Wolfram usando il comando PermutationListQ[list].

Sedgewick (1977) riassume una varietà di algoritmi per la generazione di permutazioni e identifica l’algoritmo di permutazione a cambiamento minimo di Heap (1963) per essere generalmente il più veloce (Skiena 1990, p. 10). Un altro metodo di enumerazione delle permutazioni è stato dato da Johnson (1963; Séroul 2000, pp. 213-218).

Il numero del modo di ottenere un sottoinsieme ordinato di k elementi da un gruppo di n elementi è dato da

_nP_k=(n!)/((n-k)!)

(1)

(Uspensky 1937, p. 18), dove n! può essere un fattoriale. per esempio, ci sono 4,/2,=12 sottoinsiemi di {1,2,3,4}, cioè {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,1}, {2,3}, {2,4}, {3,1}, {3,2}, {3,2}, {3,4}, {4,1}, {4,2}, e {4,3}. I sottoinsiemi non ordinati contenenti elementi k sono chiamati i sottoinsiemi k di un dato insieme.

La rappresentazione di una permutazione come prodotto di cicli di permutazione è esclusiva (fino all’ordine dei cicli). Un esempio di una decomposizione ciclica è che la permutazione {4,2,1,3} di {1,2,3,4}. questa viene spesso indicata (2)(143), come i cicli di permutazione disgiunta (2) e (143). c’è un’eccellente libertà nella scelta della rappresentazione di una decomposizione ciclica poiché (1) i cicli sono disgiunti e possono quindi essere disposti in qualsiasi ordine, e (2) ogni rotazione di un dato ciclo specifica un ciclo equivalente (Skiena 1990, p. 20). Pertanto, (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314) e (2)(143) descrivono tutti una permutazione equivalente.

Un’altra notazione che identifica esplicitamente le posizioni occupate dagli elementi prima e dopo l’applicazione di una permutazione su n elementi utilizza una matrice 2×n, dove la riga primaria è (123…n) e quindi la seconda riga è che la nuova disposizione. per esempio, la permutazione che commuta gli elementi 1 e una coppia di e fissa 3 sarebbe scritta come

[1 2 3; 2 1 3].

(2)

Qualsiasi permutazione è inoltre un prodotto di trasposizione. Le permutazioni sono comunemente indicate in ordine lessicografico o di trasposizione. c’è una corrispondenza tra una permutazione e una coppia di giovani tableaux denominati “corrispondenza Schensted”.

Il numero di permutazioni errate di n oggetti è [n!/e] dove [x] è la funzione intera più vicina. Una permutazione di n oggetti ordinati, durante la quale nessun oggetto si trova al suo posto naturale, viene chiamata derangement (o, a volte, permutazione intera) e quindi il numero di tali permutazioni è dato dal sottofattoriale !n.

Utilizzando

(x+y)^n=somma_(r=0)^n(n; r)x^(n-r)y^r

(3)

con x=y=1 dà

2^n=somma_(r=0)^n(n; r),

(4)

quindi il numero del modo di selezionare 0, 1, …, o n alla volta è 2^n.

L’insieme di tutte le permutazioni di un gruppo di elementi 1, …, n sono spesso ottenuti utilizzando la successiva procedura ricorsiva

1 2; / ; 2 1

(5)

1 2 3; / ; 1 3 2 ; / ; 3 1 2 ; | ; 3 2 1 ; \ ; 2 3 1 ; \ ; 2 1 3

(6)

Si considerino le permutazioni durante le quali non si verificano coppie di elementi consecutivi (cioè le successioni in salita o in discesa). Per n=1, 2, … elementi, i numeri di tali permutazioni sono 1, 0, 0, 0, 2, 14, 14, 90, 646, 5242, 47622, … (OEIS A002464).

Lasciate che l’insieme degli interi 1, 2, …, N sia permutato e quindi la sequenza risultante sia suddivisa in serie crescenti. Indicare la lunghezza tipica dell’ennesima corsa come N si avvicina all’infinito, L_n. i pochi valori primari sono riassunti nella seguente tabella, dove e è che la base del logaritmo napieriano (Le Lionnais 1983, pp. 41-42; Knuth 1998).

n L_n OEIS approssimativo

1 e-1 A091131 1.7182818…

2 e^2-2e A091132 1,9524…

3 e^3-3e^2+3/2e A091133 1,9957…