La distribuzione gaussiana standard può essere una distribuzione gaussiana con una media di zero e varianza di 1. La distribuzione gaussiana di qualità è centrata a zero e quindi il grado in cui una data misura si discosta dalla media è dato dalla deviazione di qualità. Per la distribuzione gaussiana di qualità, il 68% delle osservazioni si trova entro 1 scostamento della media, il 95% entro due scostamenti della media e il 99,9% entro 3 scostamenti standard della media. Fino ad oggi, abbiamo usato “X” per indicare la variabile di interesse (ad esempio, X=BMI, X=altezza, X=peso). Tuttavia, quando si utilizza una distribuzione gaussiana standard, useremo “Z” per chiedere una variabile nel contesto di una tipica distribuzione gaussiana. Dopo la standardizzazione, il BMI=30 discusso nella pagina precedente è mostrato qui sotto che giace 0.16667 unità sopra la media di 0 sulla distribuzione gaussiana di qualità sulla corretta.

Poiché il mondo sotto la curva di qualità = 1, inizieremo a definire più precisamente le possibilità di osservazione specifica. Per ogni dato Z-score calcoleremo il mondo sotto la curva a sinistra di quello Z-score. La tabella all’interno del riquadro sottostante mostra le possibilità per la distribuzione gaussiana di qualità. Esaminate la tabella e notate che un punteggio “Z” di 0.0 elenca una probabilità di 0.50 o 50%, e un punteggio “Z” di 1, che significa una varianza al di sopra della media, elenca una probabilità di 0.8413 o 84%. Questo perché una varianza al di sopra e al di sotto della media comprende circa il 68% del mondo, quindi una varianza al di sopra della media rappresenta la metà di quella del 34%. Quindi, il cinquecento al di sotto della media più il 34% al di sopra della media ci dà l’84%.

DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD: I valori della tabella rappresentano l’AREA a SINISTRA del punteggio Z.

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 -3.9 .00005 .00005 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00003 .00003 -3.8 .00007 .00007 .00007 .00006 .00006 .00006 .00006 .00005 .00005 .00005 -3. 7 .00011 .00010 .00010 .00010 .00009 .00009 .00008 .00008 .00008 .00008 -3.6 .00016 .00015 .00015 .00014 .00014 .00013 .00013 .00012 .00012 .00011 -3.5 .00023 .00022 .00022 .00021 .00020 .00019 . 00019 .00018 .00017 .00017 -3.4 .00034 .00032 .00031 .00030 .00029 .00028 .00027 .00026 .00025 .00024 -3.3 .00048 .00047 .00045 .00043 .00042 .00040 .00039 .00038 .00036 .00035 -3.2 .00069 .00066 . 00064 .00062 .00060 .00058 .00056 .00054 .00052 .00050 -3.1 .00097 .00094 .00090 .00087 .00084 .00082 .00079 .00076 .00074 .00071 -3.0 .00135 .00131 .00126 .00122 .00118 .00114 .00111 .00107 . 00104 .00100 -2.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .00139 -2.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .00193 -2.7 .00347 .00336 .00326 .00317 . 00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .00264 -2.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .00357 -2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .00480 -2. 4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639 -2.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .00842 -2.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 . 01191 .01160 .01130 .01101 -2.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .01426 -2.0 .02275 .02222 .02169 .02118 .02068 .02018 .01970 .01923 .01876 .01831 -1.9 .02872 .02807 . 02743 .02680 .02619 .02559 .02500 .02442 .02385 .02330 -1.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .02938 -1.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 . 03754 .03673 -1.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .04551 -1.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .05592 -1.4 .08076 .07927 .07780 .07636 . 07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .06811 -1.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08691 .08534 .08379 .08226 -1.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .09853 -1.1 . 13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .11702 -1.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .13786 -0.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 . 16602 .16354 .16109 -0.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .18673 -0.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .21476 -0.6 .27425 .27093 .26763 . 26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .24510 -0.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .27760 -0.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 . 31207 -0.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .34827 -0.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .38591 -0.1 .46017 .45620 .45224 .44828 .44433 . 44038 .43644 .43251 .42858 .42465 -0,0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .46414 DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD: I valori della tabella rappresentano l’area a sinistra del punteggio Z. Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 . 57535 0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 . 67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793 0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 0. 7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524 0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327 0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 . 82894 .83147 .83398 .83646 .83891 1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298 1.2 . 88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147 1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .91774 1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 . 92785 .92922 .93056 .93189 1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408 1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449 1.7 .95543 . 95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 . 97558 .97615 .97670 2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.2 .98610 .98645 . 98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 . 99324 .99343 .99361 2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.7 .99653 .99664 . 99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 . 99856 .99861 3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900 3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929 3.2 .99931 .99934 .99936 . 99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950 3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965 3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 . 99976 3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983 3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989 3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 . 99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992 3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995 3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997

Probabilità della distribuzione gaussiana di qualità Z

Questa tabella è organizzata per fornire il mondo sotto la curva a sinistra o meno di un valore specificato o “valore Z”. in questo caso, perché la media è zero e quindi la varianza è 1, il valore Z è che il numero di unità di deviazione ordinaria lontano dalla media, e quindi l’area è che la probabilità di osservare un valore ma quel valore Z specifico. Si noti anche che la tabella mostra le probabilità fino a 2 cifre decimali di Z. La posizione delle unità e quindi la prima cifra decimale sono mostrate all’interno della colonna di sinistra, e quindi la seconda cifra decimale è visualizzata attraverso la riga più alta.

Ma torniamo alla domanda sulla probabilità che l’IMC sia un valore inferiore a 30, cioè P(X)

Distribuzione di BMI e distribuzione normale standard

L’area sotto ogni curva è una, ma la scala dell’asse X è diversa. Si noti, tuttavia, che le aree a sinistra della linea tratteggiata sono equivalenti. La distribuzione IMC va da 11 a 47, mentre la distribuzione gaussiana standardizzata, Z, va da -3 a tre. Vorremmo calcolare P(X < 30). per provare a questo determineremo il valore Z che corrisponde a X = 30 poi useremo la tabella di distribuzione gaussiana di qualità di cui sopra per cercare la probabilità o l’area sotto la curva. La formula successiva converte un valore X in un punteggio Z, detto anche punteggio uniforme:

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image110.gif

Dove μ è che la media e σ è che la varianza della variabile X.

Per calcolare P(X < 30) convertiamo la X=30 nel suo corrispondente punteggio Z (questo è chiamato standardizzazione): Quindi, P(X < 30) = P(Z < 0.17). cercheremo quindi la corrispondente probabilità per questo punteggio Z dalla tabella di distribuzione gaussiana di qualità, che mostra che P(X < 30) = P(Z < 0.17) = 0.5675. Così, la probabilità che un maschio di 60 anni abbia l’IMC ma 30 sia 56,75%.

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image111.gif

Un altro esempio

Utilizzando una distribuzione equivalente per l’IMC, qual è la probabilità che un maschio di 60 anni abbia un IMC superiore a 35? In altre parole, cos’è P(X > 35)? Anche in questo caso standardizziamo:

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image112.gif

Indicatore di immagine dell’equazione

Standard normal distribution with vertical line at Z=1. The area to the left of this is 0,8413, and the area to the right is 0.1587.

Ora frequentiamo il tavolo di distribuzione gaussiana di qualità per sembrare P(Z>1) e per Z=1.00 scopriamo che P(Z

Prima, P(Z>1)=1-0.8413=0.1587. Interpretazione: Quasi il 16% degli uomini di 60 anni ha un IMC superiore a 35.

Calcolatore di probabilità normale

Contenuti alternativi accessibili vanno alla fine dell’oggetto in linea

Z-Scores con R

In alternativa alla ricerca delle probabilità normali nella tabella o all’uso di Excel, possiamo usare R per calcolare le probabilità. Per esempio,

> pnorm(0)

[1] 0.5

Uno Z-score di 0 (la media di qualsiasi distribuzione) ha il 50% dell’area a sinistra. Qual è la probabilità che un uomo di 60 anni nella popolazione di cui sopra abbia un IMC inferiore a 29 (la media)? Lo Z-score sarebbe 0, e pnorm(0)=0,5 o 50%.

Qual è la probabilità che un uomo di 60 anni abbia un IMC inferiore a 30? Lo Z-score era 0,16667.

> pnorm(0,16667)

[1] 0.5661851

Quindi, la probabilita’ e’ del 56,6%.

Qual è la probabilità che un uomo di 60 anni abbia un IMC superiore a 35?

35-29=6, che è una deviazione standard superiore alla media. Quindi possiamo calcolare l’area a sinistra

> pnorm(1)

[1] 0.8413447

E poi sottrarre il risultato da 1,0.

1-0.8413447= 0.1586553

Quindi la probabilità che un uomo di 60 anni abbia un IMC superiore a 35 è del 15,8%.

Oppure, possiamo usare R per calcolare il tutto in un unico passaggio come segue:

> 1-pnorm(1)

[1] 0.1586553