Comprendere la matematica del cambiamento continuo.

Il calcolo è lo studio matematico delle cose che cambiano: automobili che accelerano, pianeti che si muovono intorno al sole, economie fluttuanti. Per pensare a queste quantità in evoluzione, un’altra disposizione di apparati – l’analitica – è stata creata nel XVII secolo, regolando sempre il corso della matematica e della scienza.

L’analitica funzionale è l’esperienza di cui ogni ricercatore, specialista o matematico ha bisogno.

Limiti all’infinito

A volte non risolveremo qualcosa direttamente… ma vedremo cosa dovrebbe essere mentre ci incontriamo e ci avviciniamo!

Esempio:

(x2 – 1)(x – 1)

Cerchiamo di risolvere il problema per x=1:

Ora 0/0 può essere una difficoltà! non conosciamo bene il valore di 0/0 (è “indeterminato”), quindi vorremmo rispondere diversamente.

Quindi, piuttosto che cercare di capirlo per x=1, proviamo ad avvicinarci sempre di più:

Esempio Continua:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Ora vediamo che come x si trova sull’orlo dell’1, poi (x2-1)(x-1) si trova sull’orlo del 2

Ci troviamo ora di fronte a una situazione stimolante:

Quando x=1 non conosciamo la soluzione (è indeterminata)

Ma vedremo che sta diventando 2

Noi vogliamo offrire la soluzione “2” ma non possiamo, quindi i matematici dicono esattamente cosa sta succedendo usando la parola speciale “limite”.

Il limite di (x2-1)(x-1) quando x si avvicina a 1 è 2

Ed è scritto in simboli come:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Quindi è un modo speciale di affermare , “ignorando quello che succede una volta arrivati, ma man mano che ci incontriamo e ci avviciniamo la soluzione si avvicina sempre di più a 2”.

Come un grafico è così:

Quindi, in verità, non possiamo dire quale sia il valore di x=1.

Ma diremo che, avvicinandosi a 1, il limite è 2.

È come correre su una collina e poi trovare la pista è magicamente “non c’è”…

… ma se controlliamo solo un lato, chissà cosa succede?

Quindi vorremmo controllarlo da entrambe le direzioni per essere sicuri di dove “dovrebbe essere”!

Esempio Continua

Proviamo dal lato opposto:

x (x2 – 1)(x – 1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

… …

Anche in direzione di due , quindi va bene

Riepilogo rapido dei limiti

A volte non risolveremo qualcosa direttamente… ma vedremo cosa dovrebbe essere mentre ci incontriamo e ci avviciniamo!

Esempio:

(x2 – 1)(x – 1)

Cerchiamo di risolvere il problema per x=1:

Ora 0/0 può essere una difficoltà! non conosciamo bene il valore di 0/0 (è “indeterminato”), quindi vorremmo rispondere diversamente.

Quindi, piuttosto che cercare di capirlo per x=1, proviamo ad avvicinarci sempre di più:

Esempio Continua:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Ora vediamo che come x si trova sull’orlo dell’1, poi (x2-1)(x-1) si trova sull’orlo del 2

Ci troviamo ora di fronte a una situazione stimolante:

Quando x=1 non conosciamo la soluzione (è indeterminata)

Ma vedremo che sta diventando 2

Noi vogliamo offrire la soluzione “2” ma non possiamo, quindi i matematici dicono esattamente cosa sta succedendo usando la parola speciale “limite”.

Il limite di (x2-1)(x-1) quando x si avvicina a 1 è 2

Ed è scritto in simboli come:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Quindi è un modo speciale di affermare , “ignorando quello che succede una volta arrivati, ma man mano che ci incontriamo e ci avviciniamo la soluzione si avvicina sempre di più a 2”

Come un grafico è così:

Quindi, in verità, non possiamo dire quale sia il valore di x=1.

Ma diremo che, avvicinandosi a 1, il limite è 2.