Comprendere la matematica del cambiamento continuo.
Il calcolo è lo studio matematico delle cose che cambiano: automobili che accelerano, pianeti che si muovono intorno al sole, economie fluttuanti. Per pensare a queste quantità in evoluzione, un’altra disposizione di apparati – l’analitica – è stata creata nel XVII secolo, regolando sempre il corso della matematica e della scienza.
L’analitica funzionale è l’esperienza di cui ogni ricercatore, specialista o matematico ha bisogno.
Limiti all’infinito
A volte non risolveremo qualcosa direttamente… ma vedremo cosa dovrebbe essere mentre ci incontriamo e ci avviciniamo!
Esempio:
(x2 – 1)(x – 1)
Cerchiamo di risolvere il problema per x=1:
Ora 0/0 può essere una difficoltà! non conosciamo bene il valore di 0/0 (è “indeterminato”), quindi vorremmo rispondere diversamente.
Quindi, piuttosto che cercare di capirlo per x=1, proviamo ad avvicinarci sempre di più:
Esempio Continua:
x (x2 – 1)(x – 1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
… …
Ora vediamo che come x si trova sull’orlo dell’1, poi (x2-1)(x-1) si trova sull’orlo del 2
Ci troviamo ora di fronte a una situazione stimolante:
Quando x=1 non conosciamo la soluzione (è indeterminata)
Ma vedremo che sta diventando 2
Noi vogliamo offrire la soluzione “2” ma non possiamo, quindi i matematici dicono esattamente cosa sta succedendo usando la parola speciale “limite”.
Il limite di (x2-1)(x-1) quando x si avvicina a 1 è 2
Ed è scritto in simboli come:
limx→1 x2-1x-1 = 2
Quindi è un modo speciale di affermare , “ignorando quello che succede una volta arrivati, ma man mano che ci incontriamo e ci avviciniamo la soluzione si avvicina sempre di più a 2”.
Come un grafico è così:
Quindi, in verità, non possiamo dire quale sia il valore di x=1.
Ma diremo che, avvicinandosi a 1, il limite è 2.
È come correre su una collina e poi trovare la pista è magicamente “non c’è”…
… ma se controlliamo solo un lato, chissà cosa succede?
Quindi vorremmo controllarlo da entrambe le direzioni per essere sicuri di dove “dovrebbe essere”!
Esempio Continua
Proviamo dal lato opposto:
x (x2 – 1)(x – 1)
1.5 2.50000
1.1 2.10000
1.01 2.01000
1.001 2.00100
1.0001 2.00010
1.00001 2.00001
… …
Anche in direzione di due , quindi va bene
Riepilogo rapido dei limiti
A volte non risolveremo qualcosa direttamente… ma vedremo cosa dovrebbe essere mentre ci incontriamo e ci avviciniamo!
Esempio:
(x2 – 1)(x – 1)
Cerchiamo di risolvere il problema per x=1:
Ora 0/0 può essere una difficoltà! non conosciamo bene il valore di 0/0 (è “indeterminato”), quindi vorremmo rispondere diversamente.
Quindi, piuttosto che cercare di capirlo per x=1, proviamo ad avvicinarci sempre di più:
Esempio Continua:
x (x2 – 1)(x – 1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
… …
Ora vediamo che come x si trova sull’orlo dell’1, poi (x2-1)(x-1) si trova sull’orlo del 2
Ci troviamo ora di fronte a una situazione stimolante:
Quando x=1 non conosciamo la soluzione (è indeterminata)
Ma vedremo che sta diventando 2
Noi vogliamo offrire la soluzione “2” ma non possiamo, quindi i matematici dicono esattamente cosa sta succedendo usando la parola speciale “limite”.
Il limite di (x2-1)(x-1) quando x si avvicina a 1 è 2
Ed è scritto in simboli come:
limx→1 x2-1x-1 = 2
Quindi è un modo speciale di affermare , “ignorando quello che succede una volta arrivati, ma man mano che ci incontriamo e ci avviciniamo la soluzione si avvicina sempre di più a 2”
Come un grafico è così:
Quindi, in verità, non possiamo dire quale sia il valore di x=1.
Ma diremo che, avvicinandosi a 1, il limite è 2.
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