Procedura Poisson

Una Poisson Procedure è un modello per una progressione di occasione discreta in cui il tempo normale tra le occasioni è noto, tuttavia l’attenta pianificazione delle occasioni è arbitraria. L’apparenza di un’occasione è autonoma rispetto all’occasione precedente (il tempo di attesa tra un’occasione e l’altra è privo di memoria). Per esempio, supponiamo di rivendicare un sito che il nostro trasporto di sostanze (CDN) ci fa sapere che va giù tutto considerato una volta ogni 60 giorni, tuttavia una delusione non influenza la probabilità di quanto segue. Tutto ciò che sappiamo è il tempo normale tra una delusione e l’altra. Questa è una procedura di Poisson che assomiglia a quella di Poisson:

Il punto significativo è che conosciamo il tempo normale tra un’occasione e l’altra, ma sono arbitrariamente separati (stocastico). Possiamo avere delle delusioni consecutive, ma potremmo anche passare molto tempo tra una delusione e l’altra a causa della disordinatezza della procedura.

Una Poisson Procedure soddisfa i criteri di accompagnamento (in realtà numerose meraviglie visualizzate come forme di Poisson non soddisfano esattamente questi criteri):

Le occasioni sono libere l’una dall’altra. L’evento di un’occasione non influenza la probabilità che un’altra occasione si verifichi.

Il tasso normale (occasioni per timespan) è costante.

Due occasioni non possono accadere contemporaneamente.

L’ultimo punto – le occasioni non sono sincrone – implica che possiamo pensare a ogni sotto-intervallo di una procedura di Poisson come a un Preliminare di Bernoulli, cioè o un trionfo o una delusione. Con il nostro sito, l’intero intervallo potrebbe essere di 600 giorni, eppure ogni sotto-intervallo – a un certo punto – il nostro sito o va giù o non va giù.

I casi normali di forme di Poisson sono i clienti che chiamano un centro di assistenza, gli ospiti in un sito, il marciume radioattivo nelle molecole, l’atterraggio di fotoni in un telescopio spaziale e gli sviluppi di un costo di stock. Le forme di Poisson sono per la maggior parte legate al tempo, ma non è necessario che lo siano. Nel caso delle scorte, possiamo conoscere gli sviluppi normali ogni giorno (occasioni per tempo), tuttavia, potremmo anche avere una procedura di Poisson per il numero di alberi in una sezione di terreno (occasioni per territorio).

(Un esempio spesso dato per una Procedura Poisson è quello delle apparenze di trasporto (o dei treni o ora Ubers). Tuttavia, non si tratta di un vero e proprio processo di Poisson con la motivazione che le apparenze non sono libere l’una dall’altra. In ogni caso, le modalità di trasporto che non si svolgono nei tempi previsti, indipendentemente dal fatto che un trasporto sia in ritardo o meno, influenzano il tempo di apparizione del trasporto successivo. Jake VanderPlas ha un articolo incredibile sull’applicazione di una procedura Poisson ai tempi di apparizione del trasporto che mescola preferibilmente informazioni inventate a quelle vere).

Trasportatore Poisson

La Poisson Procedure è il modello che usiamo per rappresentare occasioni che accadono a caso e senza il contributo di nessuno, non ha un valore irragionevole. Abbiamo bisogno della Dispersione di Poisson per realizzare cose intriganti come trovare la probabilità di varie occasioni in un lasso di tempo o trovare la probabilità di rimanere in attesa fino all’occasione successiva.

La capacità di massa di Poisson Dissemination probabilità di diffusione dà la probabilità di guardare k occasioni in un arco di tempo data la lunghezza del periodo e le occasioni normali per tempo:

Questo è un po’ aggrovigliato, e le occasioni/tempo * timespan è normalmente razionalizzato in un parametro solitario, λ, lambda, il parametro del tasso. Con questa sostituzione, il lavoro sulla probabilità di circolazione di Poisson ha attualmente un parametro:

Lambda può essere pensato come il normale numero di occasioni nel frattempo. (Cambieremo a chiamarlo interim con la motivazione che, non abbiamo bisogno di utilizzare un arco di tempo, potremmo utilizzare regione o volume dipendente dalla nostra procedura di Poisson). Mi piace elaborare lambda per ricordare a me stesso che il parametro del tasso è un elemento sia delle normali occasioni per tempo che della lunghezza dell’intervallo di tempo, eppure la maggior parte delle volte lo si considera come un semplice sopra.

Cambiando il parametro del tasso, λ, cambiamo la probabilità di vedere varie quantità di occasioni in un unico intervallo. Il grafico sottostante è la capacità di massa di probabilità dell’appropriazione di Poisson che indica la probabilità che si verifichino varie occasioni in un intervallo con vari parametri di tasso.

Il numero di volte, con ogni probabilità, nel frattempo, per ogni curva è il parametro del tasso. Questo è di buon auspicio in quanto il parametro del tasso è il normale numero di occasioni nel frattempo e in questo modo quando è un numero intero, il parametro del tasso sarà il numero di occasioni con la migliore probabilità.

Nel momento in cui non si tratta di un numero intero, la probabilità più elevata che un certo numero di occasioni sia il numero più vicino al parametro del tasso, poiché la circolazione di Poisson è caratterizzata per un numero discreto di occasioni. L’idea discreta della circolazione di Poisson è inoltre il motivo per cui questa è una capacità di massa di probabilità e non un lavoro di spessore. (Il parametro del tasso è inoltre la media e la variazione della circolazione, che non dovrebbero essere numeri interi).

Possiamo utilizzare la capacità di trasporto di massa Poisson Conveyance per scoprire la probabilità di assistere a varie occasioni in un intervallo creato da una procedura Poisson. Un altro utilizzo della condizione di lavoro di massa – come vedremo più avanti – è quello di scoprire la probabilità di rimanere in attesa tra un’occasione e l’altra.

Un modello funzionante

Per il tema che illumineremo con una dispersione di Poisson, potremmo procedere con le delusioni del sito, eppure propongo qualcosa di più eccellente. Nella mia giovinezza, mio padre mi portava regolarmente nel nostro cortile per guardare (o tentare di guardare) gli sciami di meteoriti. Non eravamo dei nerd spaziali, eppure guardare articoli di relitti spaziali nel cielo era sufficiente per portarci fuori, nonostante il fatto che gli sciami di meteoriti sembravano sempre accadere nei mesi più freddi.

Il numero di meteore viste può essere visualizzato come una dispersione di Poisson alla luce del fatto che le meteore sono autonome, il numero normale di meteore ogni ora è costante (per il momento), e – questa è una stima – le meteore non si verificano per tutto il tempo. Per rappresentare il trasporto di Poisson, tutto ciò di cui abbiamo bisogno è il parametro della velocità, che è la quantità di occasioni/lunghezze intermedie. Da quello che ricordo, ci è stato consigliato di aspettarci 5 meteore per ogni ora in generale o 1 come un orologio. A causa della ristretta tolleranza di un piccolo giovane (soprattutto in una notte di solidificazione), non siamo mai rimasti fuori più di un’ora, quindi lo utilizzeremo come timespan. Assemblare le due cose, si ottiene:

Cosa significa esattamente “5 meteore anticipate”? Tutto sommato, come ha indicato il mio cinico padre, che implicava che avremmo visto 3 meteore in 60 minuti, al massimo. All’epoca non avevo alcuna capacità di scienza dell’informazione e mi fidavo del suo giudizio. Ora che sono più affermato e che ho una solida misura di sospetto nei confronti delle figure di potere, è l’occasione ideale per sottoporre il suo annuncio a un serio esame. Possiamo utilizzare la trasmissione Poisson per scoprire la probabilità di vedere esattamente 3 metri in una sola ora di percezione:

14% o circa 1/7. Nella remota possibilità di uscire costantemente all’aperto per più settimane, a quel punto, potevamo prevedere che mio padre avrebbe dovuto avere ragione in modo decisivo una volta! Anche se è piacevole da sapere, quello che cerchiamo è la diffusione, la probabilità di vedere varie quantità di meteoriti. Fare questo a mano è noioso, quindi useremo Python – che potete trovare in questo Jupyter Scratchpad – per il calcolo e la percezione.

Il diagramma sottostante mostra la capacità di massa di probabilità per il numero di meteore in un’ora con un tempo normale tra le meteore di 12 minuti (che equivale ad indicare 5 meteore previste in 60 minuti).

Questa è la cosa che significa “5 occasioni anticipate”! Il numero probabile di meteore è 5, il parametro del tasso di dispersione. (A causa di un’eccentricità dei numeri, 4 e 5 hanno una probabilità simile, il 18%). Allo stesso modo, con qualsiasi trasporto, ce n’è uno in tutta la stima di probabilità, ma c’è anche un’ampia gamma di potenziali qualità. Per esempio, potremmo uscire e vedere 0 meteore, oppure potremmo vederne più di 10 ogni 60 minuti. Per scoprire le probabilità di queste occasioni, utilizziamo una condizione simile, ma questa volta accertiamo intere probabilità (vedi il blocco note per le sottigliezze).

In precedenza abbiamo determinato l’opportunità di considerare proprio le meteore al 14% circa. La possibilità di vedere 3 o meno meteore in una sola ora è del 27%, il che significa che la probabilità di vederne più di 3 è del 73%. In modo analogo, la probabilità di vedere più di 5 metri è del 38,4%, mentre potremmo sperare di vedere 5 o meno meteore nel 61,6% delle ore di percezione. Nonostante sia poca, c’è una possibilità dell’1,4% di vedere oltre i 10 metri in 60 minuti!

Per immaginare queste potenziali situazioni, possiamo fare un esame facendo registrare alla nostra sorella il numero di meteore che vede ogni ora per 10.000 ore. I risultati appaiono nell’istogramma sottostante: