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Abbiamo diversi risultati strettamente correlati che sono variamente noti come il teorema binomiale secondo la fonte. Più confuso è il fatto che alcuni di questi (e altri) risultati strettamente correlati sono variamente noti come la formula binomiale, l’espansione binomiale e l’identità binomiale, con l’identità stessa talvolta chiamata semplicemente “serie binomiale” piuttosto che “teorema binomiale”.

Un caso più generale del teorema binomiale è l’identità della serie binomiale

 (x+a)^nu=sum_(k=0)^infty(nu; k)x^ka^(nu-k),

dove (nu; k) è un coefficiente binomiale e nu è un numero reale. Quella serie converge per nu>=0 un numero intero, o |x/a|<1. La forma generale è quella di Graham et al. (1994, p. 162). Arfken (1985, p. 307) chiama il caso speciale di questa formula con a=1 il teorema binomiale.

Quando nu è un intero positivo n, finisce con n=nu e può essere scritto nella forma

 (x+a)^n=sum_(k=0)^n(n; k)x^ka^(n-k).

Questa forma di identità è chiamata teorema binomiale da Abramowitz e Stegun (1972, p. 10).

Le varie terminologie sono riassunte nella seguente tabella.

“fonte “teorema binomiale

Graham et al. (1994, p. 162)

Arfken (1985, p. 307)

Abramowitz e Stegun (1972, p. 10)

“teorema del binomio “fonte

Abramowitz e Stegun (1972, p. 10)

Questo teorema binomiale era noto per il caso n=2 di Euclide intorno al 300 a.C., e dichiarato nella sua forma moderna da Pascal in un opuscolo postumo pubblicato nel 1665. L’opuscolo di Pascal, insieme alla corrispondenza sull’argomento con Fermat dal 1654 (e pubblicato nel 1679) è la base per dare un nome al triangolo aritmetico in suo onore.

La formula è stata mostrata anche da Newton (1676) per i numeri interi negativi -n,

 (x+a)^(-n)=sum_(k=0)^infty(-n; k)x^ka^(-n-k),

che è la cosiddetta serie binomiale negativa e converge per |x|<a.

Infatti, la generalizzazione

 (1+z)^a=sum_(k=0)^infty(a; k)z^k

vale per tutti i complessi z con |z|<1.

Tra i suoi numerosi altri talenti, il generale maggiore Stanley nell’operetta di Gilbert e Sullivan “I pirati di Penzance”, che impressiona i pirati con la sua conoscenza del teorema del binomio in “La canzone del generale maggiore” come segue: “Ho informazioni su piante, animali e minerali, capisco i re d’Inghilterra, e cito le battaglie storiche, Da Maratona a Waterloo, in ordine categorico; conosco anche molto bene le questioni matematiche, capisco le equazioni, sia semplici che quadrate, riguardanti il teorema binomiale brulicante di notizie, con molti fatti allegri sul quadrato dell’ipotenusa”.