Begrijp de wiskunde van de continue verandering.

Berekening is de wiskundige studie van dingen die veranderen: auto’s die versnellen, planeten die rond de zon bewegen, economieën die fluctueren. Om over deze evoluerende bedragen na te denken, werd in de zeventiende eeuw een andere ordening van apparaten – de analytica – gecreëerd, waarbij het verloop van de wiskunde en de wetenschap steeds werd aangepast.

Functionele analytics ervaren dat elke smachtende onderzoeker, specialist of wiskundige nodig heeft.

Grenzen aan de oneindigheid

Soms werken we niet direct iets uit… maar we zullen zien wat het moet zijn als we elkaar ontmoeten en dichterbij komen!

Voorbeeld:

(x2 – 1)(x – 1)

Laten we het uitwerken voor x=1:

Nu kan 0/0 een probleem zijn! we weten niet echt de waarde van 0/0 (het is “onbepaald”), dus we willen dit graag anders beantwoorden.

Dus in plaats van te proberen het uit te zoeken voor x=1, laten we proberen het steeds dichterbij te benaderen:

Voorbeeld: Vervolg:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Nu zien we dat als x op de rand van 1 komt, dan (x2-1)(x-1) op de rand van 2 komt

We worden nu geconfronteerd met een stimulerende situatie:

Als x=1 weten we de oplossing niet (het is onbepaald)

Maar we zullen zien dat het 2

We willen de oplossing “2” bieden, maar kunnen dat niet, dus in plaats daarvan zeggen de wiskundigen precies wat er gebeurt door het speciale woord “limiet” te gebruiken.

De limiet van (x2-1)(x-1) als x de 1 nadert is 2

En het is geschreven in symbolen als:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Het is dus een speciale manier om te beweren, “negeren wat er gebeurt als we er eenmaal zijn, maar als we elkaar ontmoeten en dichterbij komen komt de oplossing steeds dichter bij 2”.

Als een grafiek is het zo:

Dus, in waarheid, kunnen we niet zeggen wat de waarde op x=1 is.

Maar we zullen zeggen dat als we in de buurt van 1 komen, de limiet 2 is.

Het is alsof we een heuvel op rennen en dan is het vinden van het spoor op magische wijze “niet daar”…

…maar als we maar één kant controleren, wie weet wat er dan gebeurt?

Dus we willen het van beide kanten controleren om er zeker van te zijn waar het “moet” zijn!

Voorbeeld Vervolg

Dus, laten we het van de andere kant proberen:

x (x2 – 1)(x – 1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

… …

Ook op weg naar twee , dus dat is OK

Snelle samenvatting van de limieten

Soms werken we niet direct iets uit… maar we zullen zien wat het moet zijn als we elkaar ontmoeten en dichterbij komen!

Voorbeeld:

(x2 – 1)(x – 1)

Laten we het uitwerken voor x=1:

Nu kan 0/0 een probleem zijn! we weten niet echt de waarde van 0/0 (het is “onbepaald”), dus we willen dit graag anders beantwoorden.

Dus in plaats van te proberen het uit te zoeken voor x=1, laten we proberen het steeds dichterbij te benaderen:

Voorbeeld: Vervolg:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Nu zien we dat als x op de rand van 1 komt, dan (x2-1)(x-1) op de rand van 2 komt

We worden nu geconfronteerd met een stimulerende situatie:

Als x=1 weten we de oplossing niet (het is onbepaald)

Maar we zullen zien dat het 2

We willen de oplossing “2” bieden, maar kunnen dat niet, dus in plaats daarvan zeggen de wiskundigen precies wat er gebeurt door het speciale woord “limiet” te gebruiken.

De limiet van (x2-1)(x-1) als x de 1 nadert is 2

En het is geschreven in symbolen als:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Het is dus een speciale manier om te beweren, “negeren wat er gebeurt als we er eenmaal zijn, maar als we elkaar ontmoeten en dichterbij komen komt de oplossing steeds dichterbij 2”

Als een grafiek is het zo:

Dus, in waarheid, kunnen we niet zeggen wat de waarde op x=1 is.

Maar we zullen zeggen dat als we in de buurt van 1 komen, de limiet 2 is.