Orthogonale en orthonormale vectoren

Definitie. We stellen dat 2 vectoren symmetrisch zijn op de kans dat ze tegengesteld zijn…

naar elkaar toe. bijvoorbeeld, het vlekresultaat van de twee vectoren is nul.

Definitie. We stellen dat veel vectoren {~v1, ~v2, …, ~vn} meestal symmetrisch zijn als elk paar vectoren symmetrisch is. bijvoorbeeld

vi .~vj = 0, voor alle i 6= j. Voorbeeld

. De reeks vectoren 1 0 -1 , 1 √ 2 1 , 1 – √ 2 1 is wederzijds orthogonaal. (1, 0, −1).(1, √ 2, 1) = 0 (1, 0, −1).(1, − √ 2, 1) = 0 (1, √ 2, 1).(1, − √ 2, 1) = 0

Definitie. Veel vectoren S zijn orthonormale vectoren als elke vector in S

grootheid 1 en de rangschikking van de vectoren zijn meestal symmetrisch.

Model. We hebben onlangs gezien dat de vectoren

zijn wederzijds orthogonaal. De vectoren zijn echter niet genormaliseerd (deze term wordt soms gebruikt om te zeggen dat de vectoren niet van grootte 1 zijn). Laat

De set vectoren {~u1, ~u2, ~u3} is orthonormaal.

Propositie Een orthogonale set van niet-nulvectoren is lineair onafhankelijk.

Gram-Schmidt Proces

Gezien de vele direct autonome vectoren, is het vaak nuttig om deze te veranderen.

in een orthonormale set van vectoren. We karakteriseren in eerste instantie de projectiebeheerder.

Definitie. Laat ~u en ~v twee vectoren zijn. De projectie van de vector ~v op

~u wordt gekarakteriseerd als folows: Voorbeeld. Beschouw de twee vectoren ~v = 1 1 en ~u = 1 0

Deze twee vectoren zijn lineair onafhankelijk.

Ze staan echter niet loodrecht op elkaar. We creëren een orthogonale

vector op de volgende manier:

Het Gram-Schmidt Algoritme:

Laat v1, v2, …, vn een set van n lineair onafhankelijke vectoren zijn in Rn

. Dan kunnen we als volgt een orthonormale set vectoren construeren:

Voorbeeld. We zullen het Gram-Schmidt algoritme toepassen om de set vectoren te orthonormaliseren.

Om de Gram-Schmidt toe te passen, moeten we eerst controleren of de set van vectoren lineair onafhankelijk is.

Gram-Schmidt algoritme:


Model. Beschouw de vectoren {[3, 0, 4], [-1, 0, 7], [2, 9, 11]}. Controleer of de vectoren direct vrij zijn en gebruik de Gram-Schmidt procedure om symmetrische vectoren te ontdekken.