Leerdoelen

Kenmerken van binomiale resultaten

Registreer de waarschijnlijkheid van het behalen van X prestaties in N voorrondes

Registreer geaggregeerde binomiale waarschijnlijkheden

Het gemiddelde en de standaardafwijking van een binomiale toe-eigening bepalen

Op het moment dat je een munt opgooit, zijn er twee mogelijke resultaten: koppen en staarten. Elk resultaat heeft een vaste waarschijnlijkheid, het equivalent van voorlopig tot voorlopig. Vanwege de munten hebben koppen en staarten elk een vergelijkbare waarschijnlijkheid van 1/2. Des te meer zijn er omstandigheden waarin de munt eenzijdig is, zodat koppen en staarten verschillende kansen hebben. In het huidige gebied overwegen we waarschijnlijkheidskredieten waarvoor slechts twee potentiële resultaten zijn met vaste waarschijnlijkheden die aan één worden toegevoegd. Deze overdrachten worden binomiale kredieten genoemd.

Een basismodel

De vier mogelijke resultaten die kunnen optreden bij de kans dat je twee keer een munt hebt omgedraaid, staan hieronder in tabel 1. Merk op dat de vier resultaten even waarschijnlijk zijn: elke ha waarschijnlijkheid 1/4. Om dit te zien, merk op dat de munt vrij is om te draaien (geen van beide heeft invloed op de andere). Voortaan is de waarschijnlijkheid van een kop op Flip 1 en een kop op Flip 2 het resultaat van P(H) en P(H), wat 1/2 x 1/2 = 1/4 is. Een soortgelijke berekening is van toepassing op de waarschijnlijkheid van een kop op Flip 1 en een staart op Flip 2. Elk is 1/2 x 1/2 = 1/4.

Tabel 1. Vier mogelijke uitkomsten.

Resultaat Eerste Flip Tweede Flip
1 Hoofden Hoofden
2 Hoofden Staarten
3 Staarten Hoofden
4 Staarten Staarten

De vier mogelijke resultaten kunnen worden gerangschikt tot aan het aantal koppen dat opduikt. Het aantal kan twee (Resultaat 1), één (Resultaat 2 en 3) of 0 (Resultaat 4) zijn. De waarschijnlijkheid van deze denkbare uitkomsten is weergegeven in Tabel 2 en in Figuur 1. Aangezien twee van de resultaten spreken voor het geval waarin slechts één hoofd opduikt in de twee hurls, is de waarschijnlijkheid van deze gelegenheid gelijk aan 1/4 + 1/4 = 1/2. Tabel 2 geeft een overzicht van de omstandigheden.

Het krijgen van 0, 1, of 2 koppen.

Aantal koppen Waarschijnlijkheid
0 1/4
1 1/2
2 1/4

De formule voor binomiale waarschijnlijkheden

De binomiale overdracht bestaat uit de waarschijnlijkheid van elk van de potentiële hoeveelheden prestaties op N preliminaire voor autonome gelegenheden die elk een waarschijnlijkheid van π (de Griekse letter pi) van het gebeuren hebben. Voor het muntstukflipmodel is N = 2 en π = 0,5. De vergelijking voor de binomiale spreiding wordt als volgt gedemonstreerd:

waarbij P(x) de waarschijnlijkheid is van x triomfen uit N voorrondes, N het aantal voorrondes is, en π de waarschijnlijkheid van het bereiken van een bepaalde voorronde. Als we dit toepassen op het muntstukflipmodel,

Als je twee keer een muntje opgooit, hoe groot is dan de kans dat je minstens één hoofd krijgt? Aangezien de kans om precies één hoofd te krijgen 0,50 is en de kans om precies twee hoofden te krijgen 0,25, is de kans om minstens één hoofd te krijgen 0,50 + 0,25 = 0,75.

Ga er nu van uit dat de munt eenzijdig is. De kans op koppen is slechts 0,4. Wat is de kans op koppen in ieder geval één keer per twee uur? In plaats van de algemene vergelijking hierboven, zou je de juiste reactie moeten krijgen .64.

Totaal Waarschijnlijkheid

We gooien een muntje meerdere keren om. Wat is de kans dat we van 0 tot 3 koppen krijgen? De juiste reactie wordt gevonden door de waarschijnlijkheid van precies 0 koppen, precies 1 kop, precies 2 koppen en precies 3 koppen te verwerken. De kans op het krijgen van 0 tot 3 koppen is dan het geheel van deze kansen. De kansen zijn: 0,0002, 0,0029, 0,0161 en 0,0537. Het totaal van de kansen is 0,073. De berekening van de totale binomiale waarschijnlijkheden kan zeer repetitief zijn. Op deze manier hebben we een binomiale getallenkraker gegeven om het eenvoudig te maken deze waarschijnlijkheden te berekenen.

Betekenis en standaardafwijking van de binomiale cirkels

Denk aan een muntgooiproef waarbij je een munt meerdere keren hebt omgedraaid en het aantal koppen hebt geregistreerd. In het geval dat u deze analyse keer op keer uitvoerde, wat zou dan het gemiddelde aantal koppen kunnen zijn? Over het algemeen zou je verwachten dat een groot deel van de muntstukken naar boven slingert. Het gemiddelde aantal koppen zou dus 6 zijn. In de regel is het gemiddelde van een binomiale toe-eigening met de parameters N (de hoeveelheid voorrondes) en π (de waarschijnlijkheid van vooruitgang op elke voorrondes):

μ = Nπ

waarbij μ het gemiddelde is van de binomiale spreiding. De fluctuatie van de binomiale dispersie is:

σ2 = Nπ(1-π)

waarbij σ2 de fluctuatie van de binomiale circulatie is.

Wat dacht je ervan om terug te komen op de muntstuk-hurling test. De munt werd meerdere keren geslingerd, dus N = 12. Een munt heeft een kans van 0,5 aankomende koppen. Op deze manier is π = 0,5. Het gemiddelde en de schommeling kunnen langs deze lijnen verwerkt worden als achtervolgingen:

μ = Nπ = (12)(0,5) = 6

σ2 = Nπ(1-π) = (12)(0,5)(1,0 – 0,5) = 3,0.

Normaal gesproken is de standaardafwijking (σ) het vierkante fundament van de verandering (σ2).