DEZE TOPO IN DE MathWorld-klaslokaal EXPLOREREN

We hebben verschillende nauw verwante resultaten die volgens de bron bekend staan als de binomiale stelling. Verwarrender is het feit dat sommige van deze (en andere) nauw verwante resultaten op verschillende manieren bekend staan als de binomiale formule, de binomiale uitbreiding en de binomiale identiteit, waarbij de identiteit zelf soms gewoon “binomiale reeks” wordt genoemd in plaats van “binomiale stelling”.

Een meer algemeen geval van de binomiale stelling is de identiteit van de binomiale reeks

 (x+a)^nu=sum_(k=0)^infty(nu; k)x^ka^(nu-k),

waarbij (nu; k) een binomiaal coëfficiënt is en nu een reëel getal. Die reeks convergeert voor nu>=0 een geheel getal, of |x/a|<1. De algemene vorm is wat Graham et al. (1994, p. 162). Arfken (1985, p. 307) noemt het speciale geval van deze formule met a=1 de binomiale stelling.

Als nu een positief geheel getal n is, eindigt het met n=nu en kan het worden geschreven in de vorm

 (x+a)^n=sum_(k=0)^n(n; k)x^ka^(n-k).

Die vorm van identiteit wordt door Abramowitz en Stegun (1972, p. 10) de binomiale stelling genoemd.

De verschillende terminologieën zijn samengevat in de volgende tabel.

“binomiale stelling” bron

Graham et al. (1994, p. 162)

Arfken (1985, p. 307)

Abramowitz en Stegun (1972, p. 10)

“bron” binomiale stelling

Abramowitz en Stegun (1972, p. 10)

Deze binomiale stelling was bekend voor het geval n=2 van Euclides rond 300 voor Christus, en werd in zijn moderne vorm door Pascal verklaard in een postuum pamflet dat in 1665 werd gepubliceerd. Het pamflet van Pascal, samen met de correspondentie over het onderwerp met Fermat sinds 1654 (en gepubliceerd in 1679) is de basis voor het benoemen van de rekenkundige driehoek ter zijner ere.

De formule werd ook getoond door Newton (1676) voor negatieve gehele getallen -n,  (x+a)^(-n)=sum_(k=0)^infty(-n; k)x^ka^(-n-k),

dat is de zogenaamde negatieve binomiale reeks en convergeert voor |x|<a.

in feite is de veralgemening

 (1+z)^a=sum_(k=0)^infty(a; k)z^k

geldt voor alle complexe z met |z|<1.

Zijn vele andere talenten zijn onder andere majoor-generaal Stanley in Gilbert en Sullivan’s operette “The Pirates of Penzance” die indruk maakt op de piraten met zijn kennis over de binomiale stelling in “The Song of the Major General” als volgt: “Ik heb informatie over planten, dieren en mineralen, ik begrijp de koningen van Engeland, en ik citeer de historische veldslagen, van Marathon tot Waterloo, in categorische volgorde; ik ken ook zeer goed wiskundige zaken, ik begrijp vergelijkingen, zowel eenvoudig als vierkant, betreffende de binomiale stelling die wemelt van het nieuws, met veel vrolijke feiten over het vierkant van de hypotenusa.