In de meetkunde is de collineariteit van een verzameling punten de eigenschap van hun ligging op een enkele lijn.[1] Een verzameling punten met deze eigenschap zou colineair zijn (soms gespeld als collineair[2]). In grotere algemeenheid wordt de term gebruikt voor uitgelijnde objecten, dat wil zeggen, dingen die “in een lijn” of “op een rij” liggen.

Punten op een lijn

In elke geometrie wordt gezegd dat de verzameling van punten op een lijn collineair is. In de Euclidische meetkunde wordt dit verband op natuurlijke wijze in beeld gebracht door de focus achter elkaar te leggen op een “rechte lijn”. Hoe dan ook, in veel geometrieën (Euclides) is een lijn meestal een ruw (onduidelijk) objecttype, dus zulke voorstellingen zullen niet echt geschikt zijn. Een model voor de meetkunde biedt een interpretatie van hoe de punten, lijnen en andere objecttypes zich met elkaar identificeren en een idee, bijvoorbeeld, dat de collineariteit binnen de instelling van dat model moet worden ontcijferd. In de cirkelmeetkunde bijvoorbeeld, waar in het standaardmodel met lijnen wordt gesproken door ongelofelijke cirkels van een cirkel, liggen sets van colineaire focus op een vergelijkbare buitengewone cirkel. Zulke focus ligt niet op een “rechte lijn” in de Euclidische zin van het woord en wordt niet beschouwd als een opeenvolging.

Het in kaart brengen van een meetkunde naar zichzelf die lijnen naar lijnen stuurt staat bekend als een collineatie; het gelei de collineariteitseigenschap. De rechte kaarten (of directe elementen) van vectorruimten, gezien als geometrische kaarten, kaarten lijnen naar lijnen; d.w.z. ze brengen colineaire geleidingssets in kaart naar colineaire puntverzamelingen als, zijn collineaties. In de projectieve meetkunde worden deze directe kaarten homografieën genoemd en zijn ze slechts één soort collineatie.

Voorbeelden in de Euclidische meetkunde

Driehoeken

In elke driehoek zijn de volgende puntenreeksen collineair:

Het orthocentrum, het circumcenter, de centroïde, het Exeterpunt, het de Longchampspunt en het centrum van de negenpuntscirkel zijn collineair, en vallen allemaal op een lijn die de Eulerlijn wordt genoemd.

Het de Longchamps punt heeft ook andere collineairiteiten.

Elk hoekpunt, de raaklijn van de tegenoverliggende zijde met een excirkel, en het Nagelpunt zijn colineair in een lijn die een splitter van de driehoek wordt genoemd.

Het middelpunt van elke zijde, het punt dat er op gelijke afstand van ligt langs de grens van de driehoek in beide richtingen (dus deze twee punten snijden de omtrek af), en het middelpunt van de Spiekercirkel zijn collineair in een lijn die een splitser van de driehoek wordt genoemd. (De Spiekercirkel is de incirkel van de mediale driehoek, en het middelpunt is het massamiddelpunt van de omtrek van de driehoek).

Elk hoekpunt, de raaklijn van de tegenoverliggende zijde met de incirkel, en het Gergonepunt zijn collineair.

Vanuit elk punt op de omtrek van een driehoek zijn de dichtstbijzijnde punten op elk van de drie verlengde zijden van de driehoek colineair in de Simson-lijn van het punt op de omtrek.

De lijnen die de voeten van de hoogtes met elkaar verbinden snijden de tegenovergestelde zijden in colineaire punten.[3]:p.199

Het zwaartepunt van een driehoek, het middelpunt van een hoogte, en het raakpunt van de overeenkomstige zijde met de excirkel ten opzichte van die zijde zijn collineair.[4]:p.120,#78

In de stelling van Menelaus staat dat drie punten {\\\\\\\\an5,P_{2},P_{3}}}P_{1},P_{2},P_{3} op de zijden (sommige uitgebreid) van een driehoek tegenovergestelde hoekpunten {\\\\\\\\an5,A_{2},A_{3}}A_{1},A_{2},A_{3} respectievelijk colineair zijn als en alleen als de volgende producten van segmentlengtes gelijk zijn: [3]:p. 147

{\\cdot P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}Acdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}Acdot P_{2}A_{2}.}P_{1}A_{2}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}A_{3}=P_{1}A_{3}A_{3}\cdot P_{2}A__{3}.

Het middelpunt, de centroïde en het centrum van de Spiekercirkel zijn collineair.

De omtrek, het middelpunt van de Brocard, en het Lemoine punt van een driehoek zijn collineair.[5]

Twee loodrechte lijnen die het orthocentrum van een driehoek snijden, snijden elk de verlengde zijden van de driehoek. De middens op de drie zijden van deze snijpunten zijn collineair in de Droz-Farny-lijn.

Quadrilateralen

In een convexe vierzijdige ABCD waarvan de tegenoverliggende zijden elkaar snijden bij E en F, zijn de middens van AC, BD en EF collineair en wordt de lijn erdoorheen de Newtonlijn genoemd (ook wel bekend als de Newton-Gauss lijn[citaat nodig]). Als de vierhoek een tangentiële vierhoek is, dan ligt zijn zwaartepunt ook op deze lijn.[6]

In een bolle vierhoek zijn het quasiorthocentrum H, het “gebiedscentrum” G, en het quasicircumcenter O colineair in deze volgorde, en HG = 2GO.[7] (Zie Quadrilaterale#Markeerbare punten en lijnen in een bolle vierhoek).

Andere collineairen van een tangentiale vierhoek zijn gegeven in Tangentiële vierhoek#Kolineaire punten.

In een cyclische vierhoek zijn het circumcenter, het hoekpunt van het middelpunt (het snijpunt van de twee bimedianen), en het anticentrum collineair.[8]

In een cyclische vierhoek zijn het gebied centroïde, het hoekpunt centroïde, en het snijpunt van de diagonalen collineair.[9]

In een tangentieel trapezium zijn de raaklijnen van de incirkel met de twee basen collineair met het zwaartepunt.

In een tangentiële trapezium zijn de middelpunten van de benen colineair met het zwaartepunt.

Zeshoeken

Pascal’s stelling (ook bekend als de Hexagrammum Mysticum stelling) stelt dat als een willekeurige zes punten worden gekozen op een kegelvormige doorsnede (d.w.z. ellips, parabool of hyperbool) en met elkaar verbonden worden door lijnstukken in een willekeurige volgorde om een zeshoek te vormen, dan komen de drie paren tegenovergestelde zijden van de zeshoek (eventueel verlengd) samen in drie punten die op een rechte lijn liggen, de Pascal-lijn van de zeshoek genoemd. Het omgekeerde is ook waar: de stelling van Braikenridge-Maclaurin stelt dat als de drie snijpunten van de drie paren lijnen door tegengestelde zijden van een zeshoek op een lijn liggen, dan liggen de zes hoekpunten van de zeshoek op een kegelsnede, die kan ontaarden als in de zeshoekstheorie van Pappus.

Kegelsneden

Volgens de stelling van Monge zijn voor elke drie cirkels in een vlak, waarvan geen enkele volledig binnen één van de andere ligt, de drie snijpunten van de drie paren lijnen, elk uitwendig rakend aan twee van de cirkels, collineair.

In een ellips zijn het middelpunt, de twee brandpunten en de twee hoekpunten met de kleinste krommingsstraal collineair, en zijn het middelpunt en de twee hoekpunten met de grootste krommingsstraal collineair.

In een hyperbool zijn het centrum, de twee brandpunten en de twee hoekpunten collineair.

Kegels

Het massamiddelpunt van een kegelvormige vaste stof met een gelijkmatige dichtheid ligt een kwart van de weg van het midden van de basis naar het hoekpunt, op de rechte lijn die de twee met elkaar verbindt.

Tetraëders

Het middelpunt van een tetraëder is het middelpunt tussen het Mongepunt en de omtrek. Deze punten definiëren de Eulerlijn van de tetraëder die analoog is aan de Eulerlijn van een driehoek. Het middelpunt van de twaalfpuntige bol van de tetraëder ligt ook op de lijn van Euler.