Hier zijn mijn aantekeningen voor mijn differentiële voorwaardencursus die ik hier aan de Lamar Universiteit volg. Ondanks de manier waarop dit mijn “class notes” zijn, zouden ze beschikbaar moeten zijn voor iedereen die moet uitzoeken hoe differentiële condities te doorgronden of die een update nodig hebben over differentiële condities.
Ik heb geprobeerd om deze notities te maken zo onafhankelijk als redelijkerwijs kon worden verwacht dus alle gegevens die verwacht worden om ze te doorgronden is ofwel van een Calculus of Algebra klasse of opgenomen in verschillende gebieden van de notities.
Hier zijn twee of drie vermaningen voor mijn understudies die hier misschien een duplicaat krijgen van wat er gebeurde op een dag die je hebt gemist.
Aangezien ik dit een echt volledige regeling van de notities voor iedereen die moet leren differentiële voorwaarden hebben opgenomen een aantal materiaal dat ik niet, voor het grootste deel, de gelegenheid om te dekken in de klas en in het licht van het feit dat deze progressie van semester tot semester het is hier niet genoteerd. Je zou een van je individuele collega’s moeten ontdekken om na te gaan of er iets in deze notities staat dat niet in de klas is opgetekend.
In het algemeen probeer ik problemen in de klas te verhelpen die anders zijn dan mijn aantekeningen. Hoe dan ook, met Differentiaalvergelijking is een aanzienlijk aantal van de problemen moeilijk spontaan op te lossen, dus in deze klas zal mijn klaswerk deze problemen echt op dezelfde manier aanpakken als gewerkte problemen. Alles bij elkaar genomen zal ik zo nu en dan de problemen uit het hoogste punt van mijn hoofd werken als ik een groter aantal modellen kan geven dan alleen die in mijn aantekeningen. Bovendien heb ik vaak geen tijd in de klas om het merendeel van de problemen in de aantekeningen te werken, dus je zult zien dat een paar gebieden problemen bevatten die niet in de klas gewerkt zijn vanwege de tijdsbeperkingen.
Soms zullen vragen in de klas leiden naar paden die hier niet worden behandeld. Ik probeer zoveel mogelijk vragen te voorzien als redelijkerwijs verwacht kan worden bij het opstellen van deze vragen, maar eigenlijk kan ik me niet alle vragen voorstellen. Soms wordt er in de klas een zeer goede vraag gesteld die leidt tot inzichten die ik hier niet heb meegenomen. Je moet altijd met iemand praten die in de klas was op de dag dat je het gemist hebt en deze notities vergelijken met hun notities en kijken wat de verschillen zijn.
Dit is tot op zekere hoogte geïdentificeerd met de afgelopen drie dingen, maar het is belangrijk genoeg om zijn eigen ding te rechtvaardigen. DEZE AANTEKENINGEN ZIJN GEEN VERVANGING VOOR HET BIJWONEN VAN DE LES!! Het gebruik van deze noten als een vervanging voor de les is in gevaar om je in een moeilijke situatie te brengen. Zoals effectief opgemerkt is niet alles in deze noten gehuld in klasse en regelmatig wordt er materiaal of stukjes kennis die niet in deze noten staan in de klas gecanceld.
Hier is een opsomming (en korte beschrijving) van het materiaal dat in deze notitieset zit.
Basisbegrippen – In dit deel presenteren we een groot aantal van de essentiële ideeën en definities die worden ervaren in een gemeenschappelijke differentiële voorwaarden cursus. We zullen ook kopteksten onderzoeken en hoe deze gebruikt kunnen worden om een deel van het gedrag van antwoorden voor differentiële condities te bepalen.
Definities – In dit gebied wordt een deel van de reguliere definities en ideeën in een differentiaalconditiecursus gepresenteerd, inclusief verzoek, rechte versus niet-lineaire, begincondities, inleidende waarde kwestie en tussentijd van legitimiteit.
Richtingsvelden – In dit segment spreken we over draagvlakvelden en hoe deze te schetsen. We onderzoeken ook hoe de koersvelden kunnen worden gebruikt om enkele gegevens over het antwoord op een differentiële voorwaarde te bepalen zonder dat we de regeling echt hebben.
Laatste gedachten – Op dit gebied geven we nog twee of drie laatste overpeinzingen over wat we überhaupt gaan doen in deze cursus.
Eerste orde Differentiaalvergelijkingen – In deze sectie zullen we enkele van de standaard arrangementstechnieken voor eerste verzoek differentiële condities bekijken, waaronder directe, duidelijke, zorgvuldige en Bernoulli differentiële condities. Daarnaast onderzoeken we interims van legitimiteit, harmonische arrangementen en Euler’s Methode. Bovendien modelleren we enkele fysieke omstandigheden met eerste verzoek differentiële condities.
Lineaire vergelijkingen – In deze sectie lossen we lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen op, d.w.z. differentiaalvergelijkingen in de vorm y′+p(t)y=g(t) We geven een diepgaand overzicht van het proces dat gebruikt wordt om dit type differentiaalvergelijking op te lossen, evenals een afleiding van de formule die nodig is voor de integrerende factor die gebruikt wordt in het oplossingsproces.
Scheidbare vergelijkingen – In deze sectie lossen we scheidbare eerste-orde differentiaalvergelijkingen op, d.w.z. differentiaalvergelijkingen in de vorm N(y)y′=M(x)N(y)y′=M(x). We geven een afleiding van het oplossingsproces van dit soort differentiaalvergelijkingen. We zullen ook beginnen met het vinden van het geldigheidsinterval voor de oplossing van een differentiaalvergelijking.
Exacte vergelijkingen – In deze sectie zullen we het identificeren en oplossen van exacte differentiaalvergelijkingen bespreken. We zullen een test ontwikkelen die gebruikt kan worden om exacte differentiaalvergelijkingen te identificeren en een gedetailleerde uitleg geven over het oplossingsproces. We zullen hier ook nog een aantal andere validiteitsproblemen behandelen.
Bernoulli Differentiaalvergelijkingen – In deze sectie lossen we Bernoulli differentiaalvergelijkingen op, oftewel differentiaalvergelijkingen in de vorm y′+p(t)y=yny′+p(t)y=yn. In deze paragraaf wordt ook het idee geïntroduceerd om een substitutie te gebruiken om ons te helpen bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen.
Substitutie – In deze paragraaf gaan we verder waar de laatste paragraaf ophield en kijken we naar een paar andere substituties die gebruikt kunnen worden om enkele differentiaalvergelijkingen op te lossen. In het bijzonder zullen we het gebruik van oplossingen bespreken om differentiaalvergelijkingen van de vorm y′=F(yx)y′=F(yx) en y′=G(ax+by)y′=G(ax+by) op te lossen.
Intervallen van Validiteit – In deze sectie zullen we dieper ingaan op de intervallen van validiteit en een antwoord geven op de bestaans- en uniciteitsvraag voor eerste-orde-differentiaalvergelijkingen.
Modelleren met eerste-orde differentiaalvergelijkingen – In deze sectie zullen we eerste-orde differentiaalvergelijkingen gebruiken om fysieke situaties te modelleren. In het bijzonder zullen we kijken naar mengproblemen (het modelleren van de hoeveelheid van een stof die in een vloeistof is opgelost en die zowel in- als uitgaat), populatieproblemen (het modelleren van een populatie onder verschillende situaties waarin de populatie kan in- of uitstappen) en vallende objecten (het modelleren van de snelheid van een vallend object onder invloed van zowel de zwaartekracht als de luchtweerstand).
Evenwichtsoplossingen – In deze paragraaf definiëren we evenwichtsoplossingen (of evenwichtspunten) voor autonome differentiaalvergelijkingen, y′=f(y)y′=f(y). We bespreken het classificeren van evenwichtsoplossingen als asymptotisch stabiele, onstabiele of semi-stabiele evenwichtsoplossingen.
Euler’s Methode – In dit hoofdstuk gaan we kort in op een vrij eenvoudige methode voor het benaderen van oplossingen voor differentiaalvergelijkingen. We leiden de formules van Euler’s Methode af en geven een korte bespreking van de fouten in de benaderingen van de oplossingen.
